Реферат: Теория устойчивости
| x ( t ; t0 , x0 + D x0 ) - x ( t ) | = | x ( t ; t0 , x0 + D x0 ) - x ( t ; t0 , x0 ) |.
Определение 1. Решение x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x0 на интервале I = = [ t0, + Ґ [ , т.е. " e > 0 $ d > 0 такое, что " D x0
| D x0 | Ј d Ю | x ( t ; t0 , x0 + D x0 ) - x ( t ) | Ј e " t і t0.
Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ® + Ґ для достаточно малых D x0 , т.е. $ D > 0 " D x0.
| D x0 | Ј D Ю | x ( t ; t0 , x0 + D x0 ) - x ( t ) | ® 0 , t ® + Ґ . (3)
то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).
Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.
Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t0 , x0 + D x0 ) , близкие в начальный момент t0 к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d - трубки ) , не выходят за пределы e - трубки при всех значениях t і t0 .
x
0 t
Рис.2
2) ??????????????? ???????????? ???? ???????????? ? ?????????????? ???????? (3) : ????? ??????? x1 ( t ) , ???????????? ? ?????? t0 ? D - ??????, ? ???????? ??????? ????????????? ???????????? ? ??????? x ( t ) (???.2). ?????? ??????? D ?????????? ???????? ?????????? ??????? x ( t ). ??????? x2 ( t ), ???????????? ??? t = t0 ?? ????????? ??????? ??????????, ?? ? ???????? d - ??????, ?? ???????? e - ??????, ???? ????? ? ?? ???????????? ? ??????? x(t).
Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.
Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.
Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t0 к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t1 ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e - трубки (рис.3).
Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.
Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.
x
0 t
Рис.3 Рис.4
Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему
y’ = F ( t, y ). (4)
где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) є 0 " t і t0.
Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) є 0 системы (4).
В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 " t і t0, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) є 0 системы (1).
Определение 3. Нулевое решение x ( t ) є 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если " e > 0 $ d = d ( e ) > 0 такое, что " x0