Реферат: Теория устойчивости

о dy / dt = Q ( x , y ).

Точка ( x₀ , y₀ ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x₀ , y₀ ) = 0 , Q ( x₀ , y₀ ) = 0.

Рассмотрим систему

ж dx / dt = a₁₁ x + a₁₂ y,

н (7)

о dy / dt = a₂₁ x + a₂₂ y.

где a_ij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

x = a ₁ e ^{k t} , y = a ₂ e ^{k t} . (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

a₁₁ - k a₁₂

= 0. (9)

a₂₁ a₂₂ - k

Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k₁ < 0, k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁ > 0, k₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁ > 0, k₂ < 0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k₁ = 0, k₂ > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k₁ = 0, k₂ < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные : k₁ = p + q i, k₂ = p - q i. Подслучаи :

1) p < 0 , q № 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0 , q № 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q № 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k₁ = k₂ . Подслучаи :

1) k₁ = k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁ = k₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁ = k₂ = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

dx_{i n}