Реферат: Цифровая обработка сигналов
Пример. Определить отсчеты спектра сигнала на Рис. 1.5, а.
Здесь N = 2 поэтому X(jkw1 ) =
x(nT) e-j p kn следовательно
X(j0w1 ) =x(nT)e-j0 = x(0T) + x(1T) = a + b
X(j1w1 ) =x(nT)e-j p n = x(0T) e-j0 + x(1T) e-j p = a - b
график отсчетов спектра приведен на Рис. 1.5, б, где w1 = wд /N = 0,5wд .
Сигнал с конечным числом отсчетов N имеет спектр, который повторяет с конечной погрешностью спектр сигнала с бесконечным числом отсчетов : спектры совпадают на отсчетных частотах kw1 и отличаются на других частотах. Отличие спектров тем меньше, чем больше N. В самом деле, реальные сигналы обладают конечной энергией и, следовательно, начиная с некоторого номера отсчета остальными номерами можно пренебречь ввиду их малости, что не окажет заметного влияния на спектр сигнала.
Пример. Осуществить дискретизацию экспоненциального импульса X(t) = Ae- a t = 1 e-10t и сравнить спектры исходного и дискретного сигналов.
Решение.
График сигнала X(t) представлен на Рис. 1.8
Пусть T = 0,02с. В этом случае плавным соединением отсчетов сигнала (штриховая линия на Рис. 1.8) сигнал восстанавливается удовлетворительно хотя заметны искажения в окрестности точки t = 0, поэтому ошибки наложения будут некоторым образом влиять на спектральные характеристики.
Пусть tu = 0,4с. В этом случае
N = tu /T = 20.
Расчет спектра по формуле прямого ДПФ в точке w = 0 (k = 0) запишется так
X(j0w1 ) = 1,0 + 0,8187 + 0,6703 + 05488 + 0,4493 + 0,368 + 0,3012 + 0,2466 + 0,2019 + 0,1653 + 0,1353 + 0,1108 + 0,09072 + 0,07427 + 0,06081 + 0,04979 + 0,04076 + 0,03337 + 0,02732 + 0,02237 = 5,41
Истинное значение спектра в точке w = 0 можно определить зная спектр аналогового экспоненциального импульса
Xa (jw) =
, следовательно Xa (j0) =
= 0,1.
чтобы сравнить спектры дискретного и непрерывного сигналов, дискретный спектр необходимо денормировать умножением на T, так как формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде. Поэтому
X(jow1 ) = 5,41 T = 5,42Ч0,02 = 0,1082.
Таким образом совпадение спектров Xa (jw) и X(jw) в точке w = 0 вполне удовлетворительное. Некоторая неточность объясняется влиянием ошибок наложения.
Уместно заметить, что выбор шага дискретизации достаточно контролировать в точках максимальной крутизны исходной функции X(t). В рассмотренном примере такой точкой является момент времени t = 0.
В заключение отметим, что формулы ДПФ упрощают расчетные процедуры по взаимному преобразованию сигналов и их спектров, что особенно важно для технических систем, функционирующих В реальном масштабе времени. В этих случаях применяется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), основанный на формулах ДПФ. Ускоренная процедура расчетов по алгоритму БПФ достигается за счет исключения повторных арифметических операций, характерных для расчетов по формулам ДПФ.
2. Дискретные цепи.
2.1 Разностное уравнение и дискретная цепь.
Непрерывный сигнал на входе линейной системы x(t) и соответствующий сигнал y(t) на выходе связаны дифференциальным уравнением. Замена непрерывной переменной t на дискретную переменную nT приводит к замене дифференциального уравнения разностным уравнением. Каноническая форма разностного уравнения общего вида, учитывающая в явном виде наличие в системе как прямых, так и обратных связей, запишется так
y(nT) =
am x(nT - mT) +
y(nT -
), (2.1)
где (M + 1) - число прямых связей,
Z - число обратных связей,
m, 
, n - целые положительные числа.
Аналитические методы решения разностных уравнений во многом повторяют методы решения дифференциальных уравнений и позволяют получить решение в общем виде, пригодном для анализа работы дискретной системы. Численные методы решения приводят к результату в виде числовой последовательности, поэтому разностное уравнение в этом случае воспринимается как алгоритм функционирования дискретной системы, пригодной для программирования на ЭВМ работы такой системы.
Система работа которой описывается разностными уравнениями, является дискретной так как она способна воздействовать только на отсчеты сигнала. Дискретная система и дискретная цепь осуществляет, согласно (2.1) следующие операции над дискретными сигналами.
1. Сдвиг (запаздывание) на целое число интервалов T
2. Умножение на некоторый коэффициент am или b
3. Сложение сигналов.
Перечисленные операции образуют полный базис, в котором можно реализовать заданное воздействие на сигнал.
Набору операций базиса соответствует набор типов элементов дискретной цепи : элементы памяти (задержки), умножители и сумматоры.
Каноническая схема дискретной цепи общего вида, соответствующая разностному уравнению (2.1), приведена на Рис. 2.1.
Разностное уравнение с постоянными коэффициентами am , b
описывает линейную дискретную цепь. Разностное уравнение с коэффициентами, зависящими от уровня отсчетов дискретного сигнала, описывает нелинейную дискретную цепь.
Разностное уравнение составляется непосредственно по схеме цепи, учитывая возможные пути прохождения сигнала, или по системным характеристикам цепи.
Пример. Составить разностное уравнение цепи, схема которой приведена на Рис. 2.2, а.
Решение.
Здесь имеется три пути прохождения сигнала от входа до выхода цепи, по которым сигналы проходят и затем складываются в сумматоре. Поэтому разностное уравнение имеет вид
y(nT) = 0,5 x(nT) - 0,7 x(nT - T) + 0,35 x(nT - 2T).
Пример. Определить y(nT) (Рис. 2.2, б), если x(nT) = {1,0 ; 0,5}.
Решение.