Реферат: Устойчивость
Изменение полной энергии при малом изгибе будет
Если 
, то стержень устойчив, если же 
, т.е. F
производит работу большую, чем может на копиться в стержне в виде энергии упругой деформации, избыточная работа идёт на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение и прогибается дальше. Т.е. он не устойчив. Очевидно, что когда сила достигает критического значения, то Fкр
или
откуда
Для получения значения критической силы необходимо задаться формой изогнутой оси. Функцию y = y(z) надо подбирать таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям.
Примеры
1) Вначале попробуем решить рассмотренную ранее задачу о критической силе для шарнирно опёртого по обоим концам стержня. Точное решение известно.
Fkp = 
Форма изогнутой оси в этом случае известна
y = CSin
но предположим, что это нам не известно и аппроксимируем изогнутую ось полиномом четвёртой степени
Граничные условия следующие
А) при Z = 0: y=0 (1) ; y”=0 (2) прогиб равен нулю и момент равен нулю,
Б) при Z = 
: y = 0 (3) ;y”=0 (4)
Возьмём производные
y’ = 4Az3 +3Bz2 +2Cz+D;
y” = 12 Az2 +6Bz+2C
Из (1) E = 0 ; bp (2) C = 0 Используем (3) 
; из (4) следует
12 A
подставляя в (3): A
D=A
y’=A(4z3 -6
; y”=12A(z2 -
Подставим эти выражения в формулу (1)
Как видим, приближённое решение практически не отличается от точного.
2)Рассмотрим более сложную задачу.
Определить критическую силу для стержня , показанного на рисунке.
Аналогично предыдущему случаю, аппроксимируем изогнутую ось полиномом
y = Az4 +Bz3 +Cz2 +Dz+E