Реферат: Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ

x* = ax, (2.5)

y* = dy, (2.6)

a > 0, d > 0. (2.7)

Растяжение (сжатие) вдоль оси абсцисс обеспечивается при условии, что a > 1 (a < 1). На рис. 5 a = d > 1.

3. Отражение (относительно оси абсцисс) (рис. 6) задается при помощи формул:

x* = x, (2.8)

y* = -y. (2.9)

4. На рис. 7 вектор переноса ММ* имеет координаты l, m. Перенос обеспечивает соотношения:

x* = x + l, (2.10)

y* = y + m. (2.11)

M

0

Y

X

Рис. 4

M*

0

Y

X

Рис. 5

M

0

Y

X

Рис. 6

M*
		M*

M

0

Y

X

Рис. 7

Выбор этих четырех частных случаев определяется двумя обстоятельствами.

1. Каждое из приведенных выше преобразований имеет простой и наглядный геометрический смысл (геометрическим смыслом наделены и постоянные числа, входящие в приведенные формулы).

2. Как известно из курса аналитической геометрии, любое преобразование вида (2.1) всегда можно представить как последовательное исполнение (суперпозицию) простейших преобразований вида 1 – 4 (или части этих преобразований).

Таким образом, справедливо следующее важное свойство аффинных преобразований плоскости: любое отображение вида (2.1) можно описать при помощи отображений, задаваемых формулами (2.3) – (2.11).

Для эффективного использования этих известных формул в задачах компьютерной графики более удобной является их матричная запись. Матрицы, соответствующие случаям 1 – 3, строятся легко и имеют соответственно следующий вид:

cos j sin j a 0 1 0

-sin j cos j 0 d 0 -1

3. Однородные координаты точки

Пусть М – произвольная точка плоскости с координатами х и у, вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы. Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно не равных нулю чисел х₁ , х₂ , х₃ , связанных с заданными числами х и у следующими соотношениями:

x₁ / x₃ = x, x₂ / x₃ = y (3.1)

При решении задач компьютерной графики однородные координаты обычно вводятся так: произвольной точке М (х, у) плоскости ставится в соответствие точка М_Э (х, у, 1) в пространстве.

Необходимо заметить, что произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку О (0, 0, 0), с точкой М_Э (х, у, 1),может быть задана тройкой чисел вида (hx, hy, h).

Будем считать, что h = 0. Вектор с координатами hx, hy, h является направляющим вектором прямой, соединяющей точки О (0, 0, 0) и М_Э (х, у, 1). Эта прямая пересекает плоскость z = 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно определяет точку (х, у) координатной плоскости ху.

Тем самым между произвольной точкой с координатами (х, у) и множеством троек чисел вида (hx, hy, h), h = 0, устанавливается взаимно однозначное соответствие, позволяющее считать числа hx, hy, h новыми координатами этой точки.