Реферат: Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ
В проективной геометрии для однородных координат принято следующее обозначение:
х : у : 1 (3.2)
или, более общо,
х1 : х2 : х3 (3.3)
(здесь непременно требуется, чтобы числа х1 , х2 , х3 одновременно в нуль не обращались).
Применение однородных координат оказывается удобным уже при решении простейших задач.
Рассмотрим, например, вопросы, связанные с изменением масштаба. Если устройство отображения работает только с целыми числами (или если необходимо работать только с целыми числами), то для произвольного значения h (например, h = 1) точку с однородными координатами (0.5, 0.1, 2.5) представить нельзя. Однако при разумном выборе h можно добиться того, чтобы координаты этой точки были целыми числами. В частности, при h = 10 для рассматриваемого примера имеем (5, 1, 25).
Рассмотрим другой случай. Чтобы результаты преобразования не приводили к арифметическому переполнению для точки с координатами (80000, 40000, 1000) можно взять, например, h = 0.001. В результате получим (80, 40, 1).
Приведенные примеры показывают полезность использования однородных координат при проведении расчетов. Однако основной целью введения однородных координат в компьютерной графике является их несомненное удобство в применении к геометрическим преобразованиям.
При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости.
Считая, h = 1, сравним две записи:
 |
a g 0
(x * y * 1) = (x y 1) b d 0 (3.4)
l m 1
Нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоящих в правой части последнего соотношения, мы получим формулы (2.1) и (2.2) и верное числовое равенство 1 = 1. Тем самым сравниваемые записи можно считать равносильными.
Элементы произвольной матрицы аффинного преобразования не несут в себе явно выраженного геометрического смысла. Поэтомучтобы реализовать то или иное отображение, то есть найти элементы соответствующей матрицы по заданному геометрическому описанию, необходимы специальные приемы. Обычно построение этой матрицы в соответствии со сложностью поставленной задачи и с описанными выше частными случаями рзбивают на несколько этапов.
На каждом этапе пишется матрица, соответствующая тому или иному из выделенных выше случаев 1 – 4, обладающих хорошо выраженными геометрическими свойствами.
Выпишнм соответствующие матрицы третьего порядка.
А. Матрица вращения (rotation)
 |
cos j sin j 0
[ R ] = -sin j cos j 0 (3.5)
0 0 1
Б. Матрица растяжения-сжатия (dilatation)
 |
a 0 0
[ D ] = 0 d 0 (3.6)
0 0 1
В. Матрица отражения (reflection)
 |
1 0 0
[ M ] = 0 -1 0 (3.7)
0 0 1
Г. Матрица переноса (translation)
 |
1 0 0
[ T ] = 0 1 0 (3.8)
l m 1
Рассмотрим примеры аффинных преобразований плоскости.
Пример 1. Построить матрицу поворота вокруг точки А (a, b) на угол j (рис. 9).
|
|
|
|
j |
Рис. 8
1-й шаг. Перенос на вектор – А (-a, -b) для смещения центра поворота с началом координат;
 |
1 0 0
[ T-A ] = 0 1 0 (3.9)
-a -b 1
матрица соответствующего преобразования.