Реферат: Задачи Лоповок

28. На листе бумаги изображен угол, но в пределах листа находятся его вершина и столь малые части сторон, что для его измерения нельзя воспользоваться транспортиром. Как опреде­лить градусную меру этого угла?

Перпендикуляр к прямой

29. Можно ли с помощью шаблона угла в 27° построить две взаимно перпендикулярные прямые?

30. Биссектрисы двух углов, имеющих общую сторону, взаимно перпендикулярны. Являются ли эти углы смежными?

31. Прямые а\ и Ь\ содержат биссектрисы углов, образовав­шихся при пересечении прямых о и Ь. Содержат ли прямые а и Ь биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении пря­мых СИ И &1?

32. Через точку О прямой АВ в одной полуплоскости по­строены лучи ОС и 0В так, что /- АОС = /- ВОВ. Докажите, что биссектриса угла СОВ перпендикулярна АВ.

Первый признак равенства треугольников

33. Докажите, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся пополам.

34. В концах отрезка АВ в полуплоскости с границей АВ построены АС и ВВ — равные перпендикуляры к АВ. До­кажите, что перпендикуляр к АВ, проходящий через его середину, перпендикулярен к отрезку СВ. Делит ли он пополам отрезок СВ.

35. На рисунке 4 отмечены равные отрезки и равные углы. Выясните, делит ли прямая I пополам отрезок ЕР. Перпенди­кулярны ли I и ЕР

36. Вершина А — общее начало двух лучей, соответственно перпендикулярах сторонам АВ и АС треугольника АВС и лежащих в одной полуплоскости с границей АС. На них отложены отрезки АВ и АЕ, равные названным сторонам (рис. 5). Докажите, что ВС == ВЕ.

37. Точка В находится между А и С. В одной полуплоскости построены перпендикуляры к АС: АВ == ВС и СЕ === АВ. Точ­ка О — середина ВВ, точка М — середина ВЕ (рис. 6). Докажите, что АО = СМ.

Второй признак равенства треугольников

38. На сторонах угла А взяты такие точки В и С, что АВ == = АС. Прямые ВВ -1_ АВ и СЕ А- АС пересекаются в точке О. Лежит ли она на биссектрисе угла А7

39. Как с помощью шаблона прямоугольного треугольника АВС построить биссектрису данного угла: а) острого, б) прямого?

40. Как с помощью шаблона остроугольного треугольника •АВС построить биссектрису данного угла?

41. Решите задачу 37, считая, что точки О и М не середины отрезков, а лежат на биссектрисах углов ВАВ и ВСЕ.

42. На сторонах угла А отмечены точки В, С и В, Е так, что АВ = АВ, ВС == ВЕ. Докажите, что точка О пересечения ВЕ и СВ лежит на биссектрисе угла А. Как использовать это при построении на местности биссектрисы угла без помощи угломерных инструментов?

Равнобедренный треугольник

43. Стороны. АВ и ВС треугольника АВС равны. Бис­сектрисы углов, смежных с углами. ВАС и ВСА, пересеклись в точке О. Докажите, - что она лежит на биссектрисе угла В.

44. С помощью шаблона острого угла разделите данный отрезок на 2ⁿ равных частей (n — натуральное число, большее 1).

45. Докажите, что серединный перпендикуляр основания равнобедренного треугольника проходит через вершину треугольника.

46. Серединные перпендикуляры боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС пересекли - АС в точках М и N. Докажите, что ВМ == В N.

47. Точки А, В, С, D, Е расположены так, что АВ == ВС = С D = DЕ = ЕА, ^ ВАЕ == /- ВЕА. Равыыли ухдыАВСи ВВС?

48. Через середину отрезка ВС вострое» к нему перпенди­куляр- ОМ; тупые углы АВС и ВСВ равны- Зная,, что АВ == = ВС и ^. ВАА\ == А. СВВ\ ( ( риc. 7), докажите, что лучи АА и ВВ\ пересекаются на ОМ.

49. На рисунке 8 АС == 5Р, ^- САВ == ^ ДЯ4 = 90°, АМ и ДМ — биссектрисы углов САВ и ОВ-4. Лучи СМ и .ОМ пересекают прямую АВ в точках Я" и 2<. Докажите, что АЬ = 5ДГ.

50. Если биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делив пополам боковую сторону, то этот треугольник — равносторонний. Докажите.

51. Д АВС — равносторонний. Лучи АВ, ВЕ, СМ попарно пересекаются внутри треугольника, - причем углы ВАВ, СВЕ и АСМ равны (рис. 9). Являются ли точки В, Е, М вершинами равностороннего треугольника?

Третий признак равенства треугольников