Реферат: Задачи Лоповок

32. Постройте ромб АВСВ по положению вершин А и С расстоянию от данной точки М до середины ВС.

Квадрат

33. Какую фигуру образуют все точки плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от координатных осей равна 2?

| 34. Периметр квадрата 4. Найдите на плоскости квадрата все точки, для каждой из которых сумма расстояний от сторон квадрата или их продолжений равна 6.

35. В точках А, В, С прямой построены к ней перпенди­куляры АВ, СЕ и ВР, причем АВ == ВС, СЕ = АВ, ВР == АС, первые два в одной полуплоскости, третий — в другой (рис. 22). Докажите, что В — центр квадрата со стороной ВЕ, А — центр квадрата со стороной ЕР, С — центр квадрата со сторо­ной ВР.

36. На местности был отмечен участок АВСВ квадрат­ной формы. Из-за дождей границы участка были размыты, остались веха в центре О участка и колышки М ^ АВ и N (= СВ. Можно ли по этим данным восстановить границы участка?

37. Можно ли решить задачу 36, если второй колышек нахо­дится на стороне ВС?

38. АВСВ — квадрат. На сторонах АВ и ВС отложены Равные отрезки ВК и ВМ; ВТ — перпендикуляр, опущенный на КС. Найдите /- МТБ.

39. Постройте квадрат: а) по сумме стороны с диагональю;

б) по разности длин диагонали и стороны.

40. Можно ли построить квадрат АВСВ, у которого разность Расстояний от вершины В до прямых АВ и АС равна о?

41. АВСВ — квадрат. Найдите все такие точки М, что треугольники МАВ, МВС, МСВ, МАВ будут равнобедренный •,

42. На прямой отмечены точки А, В, С, В так, что АВ = С^:: ), и построены квадраты со сторонами АВ, ВВ, АС, СО. Первые два находятся по одну сторону от АО, последние — по другую. Являются ли центры этих квадратов вершинами квадрат. ?

43. АВСВ, ВСЕР и РЕКМ — равные квадраты. Докажи, что ^. САМ + ^- ЕАМ + ^ КАМ == 90° (рис. 23).

44. АВ — высота остроугольного треугольника АВС, О - центр квадрата, построенного на АВ вне треугольника, М ~ центр квадрата, построенного на АС в одной полуплоскости с В (рис. 24). Лежат ли точки М, В, О на одной прямой?

Теорема Фалеса

45. На прямой отложены равные отрезки АВ и ВС. Как по­строить через точки А, В, С параллельные прямые, чтобы они отсекли на другой данной прямой отрезки длиной по а?

46. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, чтобы они отсекли на данной прямой I отрезки равной длины.

47. Точки А, В, С лежат на прямой I, причем АВ =^ ВС. По­стройте через А, В, С параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой отрезки с разностью длин Ь.

48. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой I отрезки с разностью длин Ь.

49. АО — медиана треугольника АВС. Прямая СЕ пере­секает сторону АВ в точке М и делит названную медиану по­полам. Определите СЕ '. ЕМ и АМ : МВ.

50. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты такие точки М и ^, что ВМ : АВ = ВН : ВС = 1 : 3. Точки Т) v Е делят сторону А С на три равные части. Докажите, что МО = МЕ.

51. Медиана ВМ делит высоту АВ треугольника АВС в отно­шении 3:1, считая от вершины. В каком отношении эта высота делит медиану ВМ?

52. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к боковой стороне.

53. Из вершин В и D параллелограмма АВС D проведены тра высоты. Как по серединам этих высот построить паралле­лограмм АВС D7

54. Постройте параллелограмм по середине стороны АВ и серединам высот, проведенных из вершины В.

55. Постройте параллелограмм АВС D по серединам сторон ВС и СВ и основанию высоты, проведенной из В к АВ.

56. Постройте параллелограмм АВСВ, если известна сере­дина стороны АВ и основание высоты, проведенной из вершины В к АВ.

57. Постройте ромб АВСВ, если известны середина стороны АВ и точки, в которых вписанная в ромб окружность касается сторон АВ и ВС.