Реферат: Застосування частинних похідних
1. Дотична площина та нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних
Нехай задано поверхню
. (1)
Точка належить цій поверхні і функція диференційована в точці , причому не всі частинні похідні в точці дорівнюють нулю, тобто
.
Розглянемо довільну криву, яка проходить через точку , лежить на поверхні (1) і задається рівнянням
де точці відповідає параметр .
Оскільки крива лежить на поверхні, то координати її точок задовольняють рівняння (1):
. (2)
Диференціюючи рівність (2), маємо:
. (3)
Ця рівність показує, що вектори (рис. 1)
ортогональні, причому другий з них є напрямним вектором дотичної до кривої у точці .
Крім того, з рівності (3) випливає, що дотичні до всіх кривих, які проходять через точку і лежать на поверхні (1), ортогональні до одного й того самого вектора . Тоді всі ці дотичні лежать в одній і тій самій площині, яка називається дотичною площиною до поверхні в точці .
Знайдемо рівняння дотичної площини. Оскільки ця площина проходить через точку перпендикулярно до вектора , то її рівняння має вигляд.
.(4)
Нормаллю до поверхні в точці називають пряму, що проходить через точку перпендикулярно до дотичної площини в цій точці.
Оскільки нормаль проходить через точку і має напрямний вектор , то канонічні рівняння нормалі мають такий вигляд:
. (5)
Якщо рівняння поверхні задано в явній формі, то, поклавши, отримаємо
,
тоді рівняння (4) і (5) наберуть вигляду:
;(6)
.(7)
Рисунок 1 – Дотична площина та нормаль до поверхні
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--