Шпаргалка: Дифференциальная геометрия

Локальной системой координат наз. система координат в области V евклидова пространства Rⁿ , где V – образ некоторой карты мн-зия M .

Функциям перехода от координат {} к {}называются функции, преобразующие одну в другую части двух карт на месте их пересечения = .

Гладким мн-зием наз. мн-зие, если на некотором его атласе функции перехода от координат {}к {}непрерывно дифференцируемы для любой пары карт.

Погружением наз. такое гладкое отображение из одного мн-зия в другое, что во втором мн-зии выделяется некая подобласть, для которой имеет место взаимно однозначное соответствие с точками исходного мн-зия.

Вложением наз. такое погружение, если образом погружения является замкнутое множество.

Подмн-зием наз. образ мн-зия при вложении.

Ориентируемым мн-зием наз. такое мн-зие, для которого существует атлас, где все матрицы перехода из одной карты в другую имеют положительный якобиан.

Разбиением единицы , подчиненному покрытию U _a для многообразия M называется такая система действительнозначных функций j _a , что supj _a достигается на U _a , сумма j _a (x)=1 на M .

Теорема. Пусть X – произвольное подпр-во Rⁿ и U _a - его покрытие. Тогда существует Разбиением единицы , подчиненному покрытию U _a

Касательным пр-вом в точке a мн-зия М наз. совокупность касательных векторов кривых, проходящих через эту точку.

Производной функции ¦ по направлению V ( x ¹ ,…, x ⁿ ) в точке А называется число . Производная по направлению линейна, удовл. правилу Лейбница.

Лемма. Пусть функция ¦ равна нулю в окр-ти т. A и { ¶ } – набор формальных операция, ставящих функции в соотв. Нек-рое число и удовл. пр-лу Лейбница. Тогда ¶ ¦ (A)=0.

Лемма. ¶ (Const)=0.

Лемма Адамара. Пусть ¦ - дифференцируема в окр-ти т. A тогда для т. B из окр-ти А справедливо соотношение : ¦ (B)= ¦ (A)+(-).

Теорема. Сопоставление касательному вектору в т. A производной по направлению этого вектора V_A ® { ¶ } – изоморфизм.

Гладким расслоением называется составной объект, состоящий из пр-ва расслоения (гладкое мн-зие Е ), базы расслоения (гладкое мн-зие М), проекции расслоения (гладкое отображение из пространства расслоения в базу, дифференциал которого имеет максимальный ранг), слоя (гладкое мн-зие F ), структурной группа G гладких преобразований слоя F .

Структура расслоения задается набором диффеоморфизмов, которые каждому прямому произведению слоя F на некоторую область из базы ставят в соответствие прообраз этой области на расслоении а так же функциями перехода между прямыми произведениями слоя F и областями базы, где эти области пересекаются, причем функции склейки для слоя являются элементами структурной группы G гладких преобразований слоя F .

Касательным расслоением гладкого мн-я M наз. объединение всех касательных пространств мн-зия.

Теорема. Размерность касательного расслоение n-мерного гладкого мн-я M – 2n.

Теорема. Пусть ¾ гладкое сюръективное отображение с компактными прообразами точек, N ¾ связное и все точки f регулярны. Тогда f ¾ расслоение. (В частности, все прообразы ¾ одинаковые многообразия).

Векторное поле определено на мн-зии, если каждой точке мн-зия сопоставлен некоторый вектор, координаты которого меняются непрерывно от точки к точке. Векторные поля образуют бесконечномерное пр-во.

Теорема. На Mⁿ (U_А ) существуют такие гладкие кривые x¹ (t),…, xⁿ (t) , что касательные вектора к ним образуют касательно пр-во в точке А .

Коммутатором (Производной Ли)векторных полей x и h в системе координат x¹ ,…,xⁿ наз. векторное такое поле [ x , h ], что [x ,h ]ⁱ =-i =1,…,n . Коммутатор – гладкое векторное поле, обладающее св-вами антикоммутативности ([u,v]=-[v,u]), дистрибутивности и линейности в т.ч. [gv,hw]=gh[v,w] .

Неособой точкой векторного поля v(x), наз. точка, в некоторой окрестности которой векторное поле непрерывно и не обращается в нуль.

Особой точкой векторного поля v(x), наз. точка, в некоторой окрестности которой нарушаются хотя бы одно из двух условий:1).в некоторой окрестности точки векторное поле непрерывно и 2) векторное поле не обращается в нуль в этой точке.

Невырожденной наз. такая особая точка векторного поля, что детерминант в этой точке отличен от нуля, где x ⁱ - координаты векторного поляx в системе координат (x¹ ,…, xⁿ ).

Индексом особой точки векторного поля v(x), наз. знак детерминанта , где x ⁱ - координаты векторного поля x в системе координат (x¹ ,…, xⁿ ).

Базисным наз. такое векторное поле на мн-зии, что вектора, соответствующие ему на карте в каждой точке можно дополнить до базиса на этой карте.

Голономными называются такие векторные поля v и w , что [v,w]=0.