Шпаргалка: Дифференциальная геометрия

Правильной для отображения ¦ из мн-зия M₁ в M₂ наз. точка из исходного мн-зия M₁ , такая, что матрица Якоби в этой точке имеет максимальный ранг.

Регулярной точкой отображения из мн-зия M₁ в M₂ наз. такая точка из мн-зия M₂ , что все точки из ее прообраза – правильные.

Степенью отображения в регулярной точке, прообраз которой состоит из конечного числа точек, наз. сумма знаков детерминантов отображений из прообразов регулярной точки в эту точку.

Числом вращения векторного поля в особой точке Р наз. степень отображения векторного поля на кривой, окружающей особую точку в единичную окружность по формуле ¦_x (x ¹ ,…,x ⁿ )=, где x - векторное поле на мн-зии. Оно совпадает с индексом особой точки.

Сопряженным к пр-ву векторов V называют пр-во V^* линейных вектор-функций, называемых ковекторами. Матрицей перехода от одной системы координат К другой является матрица, обратная к якобиану.

Гладкой гомотопией отображения ¦ из M в N наз. такое отображение цилиндра, полученного как результат прямого произведения гладкого мн-зия N на отрезок [0, 1], в гладкое мн-зие М, такое, что отображение точки (x,0) совпадает с ¦ (x).

Гомотопией или процессом гомотопии называются все множество гладких гомотопий.

Гомотопными называются отображения ¦ _t (x), такие, что существует такая гомотопия, что оба отображения содержатся в ней.

Гомотопически эквивалентными называют такие два многообразия, что существуют гладкие отображения, переводящие одно в другое и наоборот, что их композиции гомотопны соответствующим тождественным отображениям.

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейная ф-я от p векторов и q ковекторов. У него n^p+q координат =T(e₁ ,…,e_p ,E¹ ,…,E^q ).

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. объект, задаваемый в каждой система координат набором чисел, преобразующихся при замене систем координат (x) ® (x’) по закону:

=.

Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейный функционал, заданный на мн-ии, аргументы к-го являются векторные поля.

Теорема. Эти определения тензора эквивалентны.

Теорема. Значение тензора на p векторах и q ковекторах инвариантно относительно системы координат.

Сложение тензоров: =₁ +₂ .

Умножение Тензоров. = × .

Свертка Тензора.

Симметрирование. .

Альтернирование. .

Симметричным (Кососимметричным) называется такой тензор j , что j s = j ( j s =(-1) ^s j ).

Теорема. j _alt – кососимметричный. j _sym – симметричный. ( j s )_alt =(-1) ^s j s .

( j s )_sym = j _sym . Еслиj - симметричный, чтоj = j _sym .

Теорема. Пр-во кососимметричных тензоров типа (p,0) имеет размерность 0, если p>n и 1 иначе.

Операцией опускания индексов наз. операция, ставящая в соответствие тензору тензор =, где a_ij - невырожденное тензорное поле типа (0, 2) (то есть $ A^-1 (a^ij )).

Теорема. Симметричность инвариантна относительно замены координат.

.

Символами Кристоффеля наз. функция или в коорд. .

Теорема. .