Шпаргалка: Дифференциальная геометрия

Замкнутой внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. с нулевым градиентом.

Точной внешней дифференциальной формой наз. внешняя д.ф. , если ее можно представить в виде градиента некоторой дифференциальной формы.

Носителем дифференциальной формы наз. Замыкание множества, на котором дифференциальная форма отлична от нуля.

Сосредоточенной , относительно заданной точки, дифференциальной формой наз. такая д.ф., что она отлична от нуля в достаточно малой окрестности заданной точки.

Ограничением дифференциальной формы по отношению к мн-зию М наз. такая д.ф. над подмн-зием К мн-зия М, что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К и нулю вне его.

Продолжением дифференциальной формы по отношению к подмн-зию К мн-зия М, наз. такая д.ф. над мн-зием М что она тождественно равна исходной дифференциальной форме на подмн-зии К.

Теорема. Пусть y - отображение из мн-я M в мн-е N, пусть y ^* - отображение диф. форм из M в N, тогда

.

d y ^* (w)= y ^* (dw).

Сл-е. Замкнутость и точность диф. форм - инвариант.

Интегралом диф. формы w по карте D ориентируемого мн-ия M называется выражение , где S _x ровно знаку ориентации карты D .

Утверждение. Для интегрируемой ф-ии ¦ найдется такая диф. форма w= S _x ¦ (x), где S _x ровно знаку ориентации карты D , а G – метрика, что их интегралы равны.

Формула Стокса. Для ориентируемого многообразия с краем M и диф. формы w .

Группой когомологий де Рама наз. фактор - пр-во замкнутых внешних дифференциальных форм степени k по подпространству точных форм размерности k мн-зия M и обозначается через H^k (M) или (M) если носителем дифференциальной формы является компакт. Всякая точная форма является замкнутой, так как d(d w ‘) = dd( w ¢ )=0.

Кольцо всех замкнутых внешних дифференциальных форм произвольной степени мн-я M обозначается через H^* (M) .

Обратным образом ¦*(w) внешней дифференциальной формы w на M₂ наз. такая внешняя д.ф. на мн-зии M₁ , задаваемое формулой: ¦ *( x ₁ ,…, x _k )= w (d ¦ ( x ₁ ),…,d ¦ ( x _k )), где x ₁ ,…, x _k принадлежат касательному пространству точки Р из M₂ и являются образами отображения ¦, где ¦ - гладкое отображение мн-зий .

Теорема. Группы когомологий де Рама гомотопных мн-й изоморфны.

Производной вдоль кривой g наз. выражение: Ñ _g = x ^k Ñ _k (), где

g (t) – поле скоростей с координатами { x ^k } в некоторой системе координат и Ñ - аффинная связность на Mⁿ , задаваемая в системе координат набором частных дифференцирований Ñ _k .

Уравнением параллельного переноса наз. уравнение

=0.

Геодезической в данной связности Ñ наз. гладкая кривая на мн-зии Mⁿ c аффинной связностью Ñ, если ( g )=0, где - векторное поле скоростей траектории g (t).

Теорема. Геодезическая в данной связности Ñ задается уравнением =0.

Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на сфере со стандартной метрикой являются все центральные плоские сечения сферы и только они.

Теорема. Геодезическими линиями римановой связности на псевдосфере в модели Пуанкаре со стандартной метрикой являются все дуги окружностей выходящих на абсолют под прямым углом и только они.

Теорема. Локально существует единственная геодезическая кривая, проходящая через заданную точку.

Лагранжианом называют функцию , зависящую от трех групп переменных 1 £ b £ n , 1 £ a £ n, 1 £ i £ k.

Стационарной для функционала J называется такая ф-я ¦, что по любому направлению h .

Системой функциональных уравнений Эйлера называется система .