Шпаргалка: Дифференциальная геометрия

Ñ= + - .

Тензор кручения наз. тензор, задаваемый в каждой системе координат равенством:

Симметричной наз. связность Ñ, тензор кручения которой равен нулю.Ñ линейна и удовлетворяет правилу Лейбница.

Теорема. Связность симметрична титт, когда .

Согласованной с Римановой связностью на мн-ии M называется такая Метрика G, что Ñ G=0 всюду на мн-ии.

Теорема. На римановом мн-ии существует единственная риманова связность, согласованная с метрикой.

Тензором кривизны Римана данной связности Ñ наз. следующий тензор:

=.

Теорема. Пусть задано многообразие M и пусть тензор кривизны R на этом многообразии отличен от нуля во всех точках, тогда на многообразии M нельзя ввести локально-евклидовы координаты, т.е. такие, в которых матрица g_ij постоянна.

Теорема. На двумерном Римановом мн-ии R=2K , где K – гауссова кривизна, а R =g^kl .

R(X,Y)Z= Ñ _x Ñ _y (z)- Ñ _y Ñ _x (z)- Ñ _[x,y] (z).

Кривизной по двумерному направлению X , Y называется число R ( s )=( R ( X , Y ) X , Y ), где X , Y – заданные векторные поля.

Теорема. Пусть M – двумерное риманово многообразие и K ( P ) – гауссова кривизна, тогда R ( s )= K ( P ).

Коммутатором ковариантного дифференцирования тензора наз. тензор [ Ñ _k, Ñ _l ](Tⁱ )=T^q , где [ Ñ _k, Ñ _l ] =( Ñ _k Ñ _l - Ñ _l Ñ _k ), и T=(Tⁱ ) – тензорное поле на заданном мн-зии.

Кососимметричным тензорным полем наз. такое тензорное поле , что его компоненты меняют знак при транспонировании любых двух соседних индексов одного типа.

Дивергенцией векторного поля по определению называют тензор

Div(Tⁱ )=.

Внешним умножением кососимметричных тензоров j ₁ иj ₂ называется тензор j ₁ ^ j ₂ =( j ₁ Ä j ₂ )_alt . Оно линейно, антикоммутативно.

Св-во. Пусть j₁ и j₂ кососимметричные тензоры типа (p,0) и (q,0), тогда j ₂ ^ j ₁ =(-1)^pq j ₁ ^ j ₂ .

Алгеброй дифференциальных форм Ù (Mⁿ ) наз. алгебра, представителями которой являются линейные комбинации w ^(k) = и комбинации где – кососимметричное тензорное поле ранга q и индексы j1…jq упорядоченные в порядке возрастания.

Внешними дифференциальными формами называются элементы алгебры дифференциальных форм w^(k) . Они инвариантны относительно замены координат т.е.

.

Теорема. Многообразие ориентируемо титт, когда на нем задана диф. форма w , отличная от нуля во всех точках мн-я.

Теорема. Размерность дифференциальных форм степени k равна .

Rot(¦):=; Div(¦ ):=.

Градиентом внешней формыw наз. внешняя д.ф. d w , компоненты которой в локальной системе координат (x¹ ,…,xⁿ ) имеют вид:

=. Grad(¦) :=.

Градиент внешней формы линеен и обладает следующими свойствами:

1) d( w ₁ Ù w ₂ )=d w ₁ Ù w ₂ + w ₁ Ù d w ₂ .