Шпаргалка: Шпаргалка по Статистике 3

Вариант 1

Понятие о вероятности события

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой Р (A) = m / n, где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Классическое и статистическое её определение

Классической вероятностью называют отношение m к n, где n-число всевозможных, равновозможных, единственных исходов, m-число число благоприятствующих событию А исходов. P(A)=m/n. Если n достаточно велико, то частность или число, близкое к нему называют статистической вероятностью (при котором вероятностью события называют относительную частоту его появления при многократном воспроизведении комплекса условий эксперимента).

Теорема сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей : вероятность суммы 2-х несовместимых событий = сумме их вероятностей.P(A+B)=P(A)+P(B). Совместные события P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Теорема умножения вероятностей : Произведение зависимых событий 2-х событий = произведению вероятности на условную вероятность 2-го, вычисленного в предположении, что 1-е, событие произошло: P(AB)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P(A) Если событие А и В независимы, то вероятность произведения этих событий = произведению их вероятностей. P( AB)= P( A)* P( B);

Случайная функция

Случайная функция, функция произвольного аргумента t (заданная на множестве Т его значений и сама принимающая или числовые значения или, более общо, значения из какого-то векторного пространства) такая, что её значения определяются с помощью некоторого испытания и в зависимости от его исхода могут быть различными, причём для них существует определённое распределение вероятностей.

Стационарность и эргодичность

Стационарным случайным процессом называется такой случайный процесс, для которого все числовые характеристики не изменяются при сдвиге аргумента t. Это означает, что MX(t)=const, DX(t)=const, Rx(t_i ,t_j )=Rx(t_i ,t_i +τ), t_j =t_i +τ. (*)

Иначе говоря, для стационарного случайного процесса математическое ожидание и дисперсия не зависят о расположения интервала (ti,tj) по оси t, для которого они определяются, а автокорреляционная функция зависит только от расстояния между ti и tj и являются, таким образом, функцией лишь одного аргумента τ.

Случайный процесс обладает свойством эргодичности , если средние значения его числовых характеристик, определенные на достаточно большом временном интервале, равны средним значениям тех же характеристик по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени для любой достаточно «длительной» реализации. В этом случае одна единственная реализация дает представление о свойствах случайного процесса в целом, являясь как бы его «полномочным представителем».

Свойство эргодичности для стационарного случайного процесса обычно выполняется при стремлении к нулю его автокорреляционной функции при τ→∞.

Вариант 2

Понятие об условной вероятности

Вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью P(A/B) события A. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого, т.е. для независимых событий Р(А/В)=Р(A), а для зависимых Р(А/В) не равно Р(A).

Формула полной вероятности

Пусть известны вероятности событий В_1, В_2, …В_n и условные вероятности события А, вычисленные в предположении, что произошли события В₁ или В₂ или … В_n, тогда вероятность события А может быть найдена по формуле полной вероятности:

Теорема Байеса

На основе формулы Бейеса решается задача о нахождении вероятности P(Hi/A) гипотезы Hi при условиях, что в результате проведённого эксперимента произошло событие А, а гипотезы H₁ , H₂ … H_n образуют полную группу, причем их вероятности до опыта известны и равны соответственно P(H₁ ), P(H₂ ), … P(H_n ). Согласно по формуле Бейеса

С помощью этой формулы переоценивают вероятности гипотез P(Hi), называемые априорными, т.е. известными до опыта.

Основные числовые характеристики случайной функции

Математическим ожиданием случайного процесса понимают неслучайную функцию M(X(t)), которая при каждом фиксированном значении времени ti равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса m_X (t)=M(X(t)).

Под дисперсией случайного процесса понимают неслучайную функцию D_X (t), значение которой для фиксированного tiравно дисперсии соответствующего сечения процесса D_X (t)=D(X(t)).

Корреляционная функция оценивает степень зависимости между различными сечениями случайного процесса, являющегося функцией двух аргументов t1 и t2 и уменьшающегося с увеличением расстояния между ними. Таким образом, корреляционный функцией называют неслучайную функцию R_X (ti,tj), двух аргументов tiи tj равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса: R_X (ti,tj)=M(X(~)* (ti)X* (tj)), где X* (ti) и X* (tj) – центрированные случайные величины, т.е. X* (ti)=X*(ti)-MX(ti); X* (tj)=X(tj)-MX(tj).

Вариант 3

Понятие о законе распределения случайной величины.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--