Статья: Сопряжённые числа
m – n√2
n
|m2 – 2n2 |
(m + n√2)n
1
(m + n√2)n
поскольку число |m2 – 2n2 | — целое и отлично от 0 (равенство m2 = 2n2 невозможно — подумайте, почему!). Если бы выполнялось неравенство, противоположное (1), то должно было бы быть m < n√2 + 1/αn и
| (3) |
Но из (2) и (3) следует (1). Значит, наше предположение неверно, то есть (1) выполнено.
Неравенство (1) показывает, что число √2 сравнительно плохо приближается дробями с небольшими знаменателями; аналогичное неравенство (только с другим коэффициентом α) выполнено не только для √2, но и для любой «квадратичной иррациональности». Разумеется, (1) выполнено и при всех α > √3 + √2, но константа √3 + √2 здесь не наименьшая из возможных. Вопросы о приближениях квадратичных иррациональностсй рациональными числами — далеко продвинутая и важная для приложений область теории чисел ([3], [4]); с приближениями числа √2 мы ещё встретимся ниже (см. упражнение4).
[Если при решении этой задачи рассмотреть отдельно случаи n=1 и n≠1, то можно показать, что
|
m n | – √2 | ≥ |
1 πn2 | . |
Оно лишь немного сильнее, чем неравенство (1), поскольку
|
1 π | = 0,3183... > 0,3178... = |
1 √3 + √2 | , |
зато выглядит гораздо эффектнее.
Помню, как в мою бытность студентом, на лекциях по алгебре наш профессор говорил: «Корень из трёх — это, примерно, 1,73; корень из двух — 1,41. Поэтому их сумма равна... (следовала пауза, необходимая для сложения этих чисел "в столбик") 3,14. А это есть?..» (он поворачивался к аудитории и сразу несколько человек говорили "пи") «Ну, вот», — с удовлетворением заключал профессор, выписывая окончательное "равенство": √3 + √2 = π. :) — E.G.A.]
3. Найдите предел последовательности an = (√n² + 1 – n)n.
Преобразуем an так:
| (√n² + 1 – n)n = |
n √n² + 1 + n | = |
К-во Просмотров: 979
Бесплатно скачать Статья: Сопряжённые числа
|