Статья: Сопряжённые числа

λ₁ ⁿ – λ₂ ⁿ + λ₃ ⁿ – λ₄ ⁿ

4√2

, t_n =

λ₁ ⁿ – λ₂ ⁿ – λ₃ ⁿ + λ₄ ⁿ

4√6

.

Теперь заметим, что λ₁ > |λ₂ |, λ₁ > |λ₃ |, λ₁ > |λ₄ |. Поэтому

lim n → ∞

rn qn

=

lim n → ∞

1 – (λ2 /λ1 )n + (λ3 /λ1 )n – (λ4 /λ1 )n 1 + (λ2 /λ1 )n + (λ3 /λ1 )n + (λ4 /λ1 )n

·

1 √2

=

1 √2

.

Аналогично найдём, что

lim n → ∞

sn qn

=

1 √3

и

lim n → ∞

tn qn

=

1 √6

.

Мы говорили выше, что сопряжённые числа a ± b√d возникают часто как корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В связи с последней задачей возникает такое желание:

9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен 1 + √2 + √3.

Возникает подозрение, что вместе с этим числом λ₁ уравнению с целыми коэффициентами удовлетворяют и сопряжённые, которые в решении предыдущей задачи мы обозначили λ₂ , λ₃ , λ₄ . Нужное уравнение можно записать так:

(x – λ₁ )(x – λ₂ )(x – λ₃ )(x – λ₄ ) = 0;

то есть

(x – 1 – √2 – √3)(x – 1 + √2 – √3)× (x – 1 – √2 + √3)(x – 1 + √2 + √3) = 0;

после преобразований получаем