Статья: Сопряжённые числа
λ1 n – λ2 n + λ3 n – λ4 n
4√2
λ1 n – λ2 n – λ3 n + λ4 n
4√6
Теперь заметим, что λ1 > |λ2 |, λ1 > |λ3 |, λ1 > |λ4 |. Поэтому
|
rn qn | = |
|
1 – (λ2 /λ1 )n + (λ3 /λ1 )n – (λ4 /λ1 )n 1 + (λ2 /λ1 )n + (λ3 /λ1 )n + (λ4 /λ1 )n | · |
1 √2 | = |
1 √2 | . |
Аналогично найдём, что
|
sn qn | = |
1 √3 | и |
|
tn qn | = |
1 √6 | . |
Мы говорили выше, что сопряжённые числа a ± b√d возникают часто как корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В связи с последней задачей возникает такое желание:
9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен 1 + √2 + √3.
Возникает подозрение, что вместе с этим числом λ1 уравнению с целыми коэффициентами удовлетворяют и сопряжённые, которые в решении предыдущей задачи мы обозначили λ2 , λ3 , λ4 . Нужное уравнение можно записать так:
(x – λ1 )(x – λ2 )(x – λ3 )(x – λ4 ) = 0;
то есть
(x – 1 – √2 – √3)(x – 1 + √2 – √3)× (x – 1 – √2 + √3)(x – 1 + √2 + √3) = 0;
после преобразований получаем