Статья: Сопряжённые числа
7. В вершине A правильного восьмиугольника сидит лягушка. Из любой вершины восьмиугольника, кроме вершины E, противоположной A, она может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в E, лягушка останавливается и остаётся там. Найти количество em различных способов, которыми лягушка может попасть из вершины A в E ровно за m прыжков.
Если раскрасить вершины восьмиугольника через одну в чёрный и белый цвет (рис.2), сразу станет ясно, что e2k–1 = 0 при любом k: цвет вершин при каждом прыжке меняется. Обозначим через an и cn количество способов, которым лягушка может за 2n прыжков, попасть из вершины A, соответственно, в вершину A и в одну из вершин C (из соображений симметрии ясно, что в каждую из вершин, обозначенных на рисунке буквой C, можно попасть одним и тем же числом способов). Как легко проверить (см. рис.2а,б,в,г),
a1 = 2, c1 = 1;
| (7) |
А интересующее нас число e2n равно, очевидно, 2cn–1 (рис. 2д).
|
а) c1 = 1 |
б) a1 = 2 |
в) an+1 = 2an + 2cn |
|
г) cn+1 = an + 2cn |
д) e2n = 2cn–1 |
| Рис. 2. а) | Из A в C за два прыжка можно попасть только одним способом: c1 = 1. |
| б) | Из A в A за два прыжка можно попасть двумя способами: a1 = 2. |
| в) | В A можно попасть из C двумя способами и из A двумя способами: an+1 = 2an + 2cn . |
| г) | В C можно попасть из A одним способом и из C — двумя: cn+1 = an + 2cn . |
| д) | В E можно попасть из C двумя способами: e2n = 2cn–1 . |
Как же найти явную формулу для an и cn ? Запишем наше рекуррентное соотношение (7) так:
| an+1 + cn+1 √2 = (an + cn √2)(2 + √2) | (8) |
и — как вы уже, конечно, догадались — ещё так:
| an+1 – cn+1 √2 = (an – cn √2)(2 – √2). | (9) |
Отсюда по индукции, пользуясь (7), получаем:
| an + cn √2 = (2 + √2)n–1 (a1 + c1 √2) = (2 + √2)n , |
| an – cn √2 = (2 – √2)n–1 (a1 – c1 √2) = (2 – √2)n . |
Поэтому
| cn = |
(2 + √2)n – (2 – √2)n 2√2 | , |
а так как e2n = 2cn–1 , получаем окончательно
| e2n = |
(2 + √2)n–1 – (2 – √2)n–1 √2 | , e2n–1 = 0. |
Задача решена. Неясно только, как в этой задаче (и в предыдущей задаче6) можно было додуматься до формул, содержащих ±√2, — ведь в задаче речь идёт о целых числах! (Для участников олимпиады и читателей «Кванта» задача7 была облегчена тем, что в формулировке указывался ответ — «Квант», 1979, №11, М595).
Однако «сопряжённые числа» возникли бы совершенно автоматически, если бы мы владели началами линейной алгебры (см.[12]), и применили стандартные правила этой науки к решению уравнений (7). Эти правила предлагают сначала выяснить, какие геометрические прогрессии (an = a0 λn , cn = c0 λn ) удовлетворяют данному рекуррентному соотношению. Значения, для которых такие прогрессии существуют, — они называются характеристическими значениями или собственными числами — определяются из некоторого уравнения (оно тоже называется характеристическим). Для (7) характеристическое уравнение имеет вид λ2 – 4λ + 2 = 0, его корни — как раз 2 + √2 и 2 – √2. Зная эти корни, любое решение рекуррентного соотношения мы можем получить как «линейную комбинацию» соответствующих геометрических прогрессий ([11]). «Начальное условие» (в нашем случае a1 = 2, c1 = 1) определяет нужное нам решение однозначно.
Неудивительно, что даже самые простые рекуррентные целочисленные последовательности, для которых характеристическое уравнение — квадратное с целыми коэффициентами (примеры — те же (6) и (7) или последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., Fn+1 = Fn + Fn–1 ; см.[9], [10]), выражаются, как функции номера, с помощью «сопряжённых» квадратичных иррациональностей.
Заметим, что большее характеристическое число определяет скорость роста последовательности: при больши́х n в задаче7 en (2 + √2)n /√2. Можно сказать это ещё так:
|
en+1 en | = 2 + √2. |