Статья: Сопряжённые числа

x_n

y_n

Интересное продолжение этого факта мы увидим в следующей задаче с бо́льшим числом «сопряжённых» иррациональностей.

Поочерёдно меняем все знаки

8. Пусть

(1 + √2 + √3)ⁿ = q_n + r_n √2 + s_n √3 + t_n √6,

где q_n , r_n , s_n и t_n — целые числа. Найти пределы

Конечно, мы здесь можем выразить (q_n+1 ; r_n+1 ; s_n+1 ; t_n+1 ) через (q_n ; r_n ; s_n ; t_n ), пользуясь тем, что

q_n+1 + r_n+1 √2 + s_n+1 √3 + t_n+1 √6 = (1 + √2 + √3)(q_n + r_n √2 + s_n √3 + t_n √6),

но, наученные опытом, мы уже знаем, что более простые формулы получаются не для самих чисел q_n , r_n , s_n , t_n , a для некоторых их комбинаций. Одну такую комбинацию мы уже знаем: это

q_n + r_n √2 + s_n √3 + t_n √6 = (1 + √2 + √3)ⁿ .

Нетрудно сообразить, каковы будут другие. Рассмотрим вместе с данным числом

λ₁ = 1 + √2 + √3,

ещё три «сопряжённых»:

λ₂ = 1 – √2 + √3, λ₃ = 1 + √2 – √3, λ₄ = 1 – √2 – √3.

Тогда

q_n – r_n √2 + s_n √3 – t_n √6 = λ₂ ⁿ ,

q_n + r_n √2 – s_n √3 – t_n √6 = λ₃ ⁿ ,

q_n – r_n √2 – s_n √3 + t_n √6 = λ₄ ⁿ .

Мы можем выразить q_n , r_n , s_n , t_n через λ₁ , λ₂ , λ₃ , λ₄ :