Статья: Тождественные преобразования алгебраических выражений

4) В полученном выражении все слагаемые имеют общий множитель (а – 3), который и выносим за скобки. f(a) = (а – 3)(а2 – 4а – 5)

5) Мы получили разложение на множители f(a), но второй множитель в свою очередь может быть разложен на множители. Для этого, используя теорему Виета, разложим трехчлен (а2 – 4а – 5) на множители.

По теореме Виета корнями трехчлена (а2 – 4а – 5) являются а1=5 и а2= –1. Тогда имеем (а2 – 4а – 5) = (а – 5)(а + 1) и f(a) = (а – 3)(а – 5)(а + 1)

Ответ: a3 – 7а2 + 7а +15 = (а – 3)(а – 5)(а + 1).

Пример 3. Разложить на множители f(a,b,c) = ab(a+b) – bc(b+c) + ac(a – c).

Решение:

1) Заметим, что выражение, стоящее в первых скобках есть сумма выражений, стоящих во второй и в третьей скобках a+b=(b+c)+(a–c). Подставим это вместо а+b.

f(a,b,c)=ab((b+c)+(a–c))–bc(b+c)+ac(a–c)=ab(b+c) + ab(a–c)–bc(b+c)+ac(a–c)

2) Сгруппируем 1-е и 3-е слагаемые и 2-е и 4-е и вынесем общие множители за скобки.

f(a,b,c)=(b+c)(ab–bc)+(a–c)(ab–ac)=(b+c)(a–c)b+(a–c)(b+c)a=(a–c)(b+c)(b+a)

Полученное есть произведение трех сомножителей.

Ответ: ab(a+b) – bc(b+c) + ac(a – c)=(a–c)(b+c)(b+a).

Пример 4. Разложить на множители f(a,b)=4a2–12ab+5b2.

Решение:

1) Выделим полный квадрат

f(a,b)=(2a)2–2(2a)(3b)+(3b)2 –4b2 =(2a–3b)2 –4b2.

2) Воспользуемся формулой разности квадратов:

f(a,b)=((2a–3b)–2b)((2a–3b)+2b)=(2a–5b)(2a–b).

Ответ: 4a2–12ab+5b2=(2a–5b)(2a–b).

Пример 5. Разложить на множители f(a)=а3+9а2+27а+19.

Решение:

Так как выражение зависит только от а, которое входит в выражение в 3-ей, 2-ой и 1-ой степенях, попытаемся выделить полный куб, воспользуясь формулой (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.

1) f(a)=a3+3a2 ×3+3a×32+33 –8

2) т.к. 8=23, то воспользуемся формулой разности кубов: a3 –b3=(a–b)(a2+ab+b2).

f(a)=(a+3)3–23=(a+3–2)((a+3)2+2(a+3)+22)=(a+1)(a2+8a+19).

Ответ: а3+9а2+27а+19=(a+1)(a2+8a+19).

3. Рассмотрим примеры тождественных преобразований дробно-рациональных выражений.

При выполнении Т.П. таких выражений надо следить за областью определения выражения, т.к. может происходить расширение области определения. Это может произойти, например, при сокращении дроби.

Так область определения дроби все х¹1 и х¹ –2.