Статья: Тождественные преобразования алгебраических выражений

Сократив дробь, получим . Область определения полученной дроби: х¹-2, т.е шире, чем О.О. первоначальной дроби.

Поэтому дроби и равны при х¹1 и х¹-2.

Изменение области определения выражения возможно и в результате некоторых других преобразований, поэтому, выполнив преобразования выражения, нужно всегда уметь ответить на вопрос, на каком множестве оно тождественно полученному.

Пример 1. Сократить дробь

Решение:

1) Найдем О.О. Для этого нужно потребовать, чтобы знаменатель дроби был отличен от 0. a+b¹0 Þ a¹b. Таким образом О.О. f(a) все a¹b.

2) Чтобы сократить дробь, разложим числитель на множители

2а2+ab-b2=2a2+2ab-ab-b2=(2a2+2ab)+(-ab-b2)=2a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(2a-b)

3)

Ответ: .

Пример 2. Упростить выражение

Решение:

Найдем область определения: а2+3а+2¹0, а2+4а+3¹0, а2+5а+6¹0.

Используя т. Виета найдем значения а, при которых трехчлены обращаются в нуль

а2+3а+2=0 при а1=–2, а2=–1

а2+4а+3=0 при а1=–3, а2=–1

а2+5а+6=0 при а1=–3, а2=–2

таким образом область определения f(а): а¹–2, а¹–1, а¹–3

Приведем сумму дробей, стоящую в скобках, к общему знаменателю, предварительно определив его, используя 1)

а2+3а+2=(а+2)(а+1)

а2+4а+3=(а+3)(а+1)

а2+5а+6=(а+3)(а+2) тогда общий знаменатель: (а+2)(а+3)(а+1).

Разложим числитель первой и второй дроби на множители:

2а2+6а+4=2(а2+3а+2)=2(а+2)(а+1)

(а–3)2+12а=а2–6а+9+12а=а2+6а+9=(а+3)2