Учебное пособие: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

12. Данко П.Е. Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах М. Высшая школа 1999.

ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА, ЧИСЛА

Понятие множества. Подмножество, объединение, пересечение, дополнение. Числовые множества: натуральные, целые, рациональные, действительные числа. Модуль числа. Интервал, окрестность, отрезок. Числовая ось.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающих общим для них характеристическим свойством. Эти объекты называются элементами множества. Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут аÎА, если не принадлежит , аÏА. множество может состоять как из конечного, так и бесконечного числа элементов. множество, не содержащее ни одного элементы, называется пустым и обозначается О. Если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В, то множество а называется подмножеством множества В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит одновременно множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В, обозначается С=А∩В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В, называется объединением А и В ( обозначается А U В).

если множество А является подмножеством В, то дополнением подмножества А до множества В называется множество D, состоящее из элементов, принадлежащих В, но не принадлежащих А ( обозначается D= В\А). N - множество натуральных чисел. Z -множество целых чисел. N подмножество Z: NÌZ. Q: m/n -множество рациональных чисел. I -множество иррациональных чисел. QUI = R, R- множество действительных чисел. Геометрическое изображение R - это множество точек числовой прямой. [а,в] - отрезок : а£´£в.

( а,в)- интервал : а<´< в.

аÎR , вÎR .

Вопросы для самопроверки.

1. Приведите примеры множеств, состоящих из конечного и из бесконечного числа элементов.

2. Сколько подмножеств можно образовать из множества Х={ х₁ , х₂ , х₃ }?

3. Изобразите на бумагу два множества в виде двух частично перекрывающихся геометрических фигур (каждое множество состоит из точек, расположенных внутри соответствующей фигуры). Заштрихуйте объединение и пресечение множеств.

4. Приведите пример числового множества, состоящего из конечного числа элементов.

5. Какое из чисел больше6 –5 или 3? У какого из этих чисел больше модуль?

6. Приведите примеры интервала и отрезка. Чем отличается отрезоу от интервала?

7. Изобразите на числовой оси числа 2, ½, -1.

8. При каких х справедливо равенство |x³|= - x³?

ТЕМА 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Векторы в n-мерной системе координат. Матрицы. Определитель. Ранг матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на вектор. Умножение матрицы на матрицу, коммутативность. Диагональная и единичная матрицы, транспонированная матрица. Треугольная матрица. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия существования и единственности решения. Формула Крамера. Метод Гаусса.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

В некоторых приложениях употребляется n-мерная прямоугольная система координат, в которой формально введены не2 или 3, а n взаимно перпендикулярных координатных осей. Вектор в такой системе – это набор из n упорядоченных чисел – координат вектора.

Базис и координаты вектора.

. Линейной комбинацией векторов а_1, а₂ ,…,а_n называется выражение вида: k₁ a₁ + k₂ a₂ +…+ k_n a_n , где k_i – числа.

Векторы а_1, а₂ ,…,а_n называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k₁ , k₂ ,…, k_n , не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k₁ a₁ + k₂ a₂ +…+ k_n a_n = 0. Если же равенство возможно только при всех k_i = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k. Тогда любой вектор dможет быть представлен в виде их линейной комбинации:

d = Xi + Yj +Zk.

Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.

Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.