Учебное пособие: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

7. Что такое обратная матрица?

8. Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формулы Крамера?

9. Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса?

ТЕМА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Понятие скаляра и вектора. Модуль вектора. Операции со скалярами и векторами. Скалярное произведение. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками. Уравнения прямой на плоскости. Пересечение прямых. Прямая, проходящая через две данные точки. Прямая, параллельная и препендикулярная данной прямой. Уравнение плоскости. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Скаляром называется величина, полностью характеризующаяся своим численным значением. Вектором называется направленный отрезок прямой. Обозначается , .Отрезок имеет начало и конец, направление вектора указывается стрелкой. Величина, равная длине вектора, называется модулем (абсолютной величиной вектора) вектора а и обозначается |а|. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами.

Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а

Свойства сложения:

Свойство 1. a + b = b + a.

Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c). b

Свойство 3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a+О=а.

Свойство 4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a^/ такой, что а+а^/ =О.

Разностью а – bвекторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

Свойства умножения вектора на число:

Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.

Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.

Свойство 3. k(ma) = (km)a.

Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = ka.

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ab = |a||b| cosφ . Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .

Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

a = {X₁ , Y₁ , Z₁ }, b = {X₂ , Y₂ , Z₂ },

то ab = X₁ X₂ + Y₁ Y₂ + Z₁ Z₂ .