Учебное пособие: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Метод Гаусса решения линейных систем.

Замечание. Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.

Способы нахождения единственного решения системы,

в которой число уравнений равно числу неизвестных:

Пусть (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на где i – номер очередного уравнения. Коэффициенты при во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

.

Если новые коэффициенты при х₂ не все равны нулю, можно таким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

.

Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы единственным образом определяется , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Замечание. Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.

Правило Крамера.

Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

.

Правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:

2) Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

3) Если ==0, система имеет бесконечно много решений.

4) Если =0, а хотя бы один из система не имеет решений.

Совместность линейных систем.

Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Вопросы для самопроверки.

1. Как характеризуется вектор в n-мерной прямоугольной системе координат?

2. Чему равно скалярное произведение двух векторов?

3. Как определяется местоположение элемента в матрице?

4. Что такое единичная матрица?

5. Что такое транспонированная матрица?