Учебное пособие: Методы коллокаций и Галеркина
Пусть необходимо определить функцию
, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению
(2.50)
и линейными краевыми условиями
, (2.51)
причем 
Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций
(2.52)
которую назовем системой базисных функций.
Пусть функция 
удовлетворяет неоднородным краевым условиям
(2.53)
а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:
. (2.54)
Если краевые условия (2.51) однородны (A = B = 0), то можно положить 
и рассматривать лишь систему функций 
.
Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций
. (2.55)
Тогда функция y удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем
и аналогично 
Составим функцию 
. Подставляя сюда вместо y выражение (2.55), будем иметь
.(2.56)
Если при некотором выборе коэффициентов ci выполнено равенство
при 
то функция y является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции 
и коэффициенты ci в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция 
обращалась в нуль в заданной системе точек 
из интервала [a ,b ], которые называются точками коллокации. Сама функция R называетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.
Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений
. (2.57)
Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты 
, после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).
Пример .Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу
(2.58)
1. Метод коллокаций.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--