Учебное пособие: Методы коллокаций и Галеркина
Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями
, (2.62)
(2.63)
Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы
(2.64)
где 
– некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а 
– какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям
(2.65)
и, кроме того функции 
при 
образуют в классе функций c 2 [a ,b ], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.
Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.
Обозначим через G класс функций y ( x ) , принадлежащих c 2 [a ,b ](то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a ,b ]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций 
полна в классе G , если для любого 
и любой функции 
можно указать такое n и такие параметры 
, что имеет место неравенство
где 
Это означает, что для любой допустимой функции найдется такая функция 
, которая на [a ,b ]будет сколь угодно точно приближать функцию y ( x ) вместе с ее производными 
и 
.
Докажем, что если для некоторой функции F ( x ) и полной системы функций 
выполняется соотношение ортогональности
(2.66)
то функция 
. Для этого из полной системы последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему 
причем 
иначе были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F ( x ) , найдем
Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66), придем к равенству
(2.67)
Вычислим последний интеграл:
так как 
Таким образом, уравнение (2.67) принимает вид
.
Полагая здесь k = 1, получим 
, и так как 
, то 
. Полагая k = 2, получим 
, и так далее. Следовательно, все коэффициенты 
в разложении функции F ( x ) равны нулю и поэтому F ( x ) тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.
Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y ( x ) , удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы 
было ортогонально при любых 
, то это означало бы, что ,и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при 
, то в разложении по системе входят 
и более старшие коэффициенты, то есть 