Учебное пособие: Вычислительная математика

Если q £ 0.5, то можно пользоваться более простым критерием окончания:

|x_n – x_{n – 1} | < e . (2.10)

Пример 2.2.

Используем метод простой итерации для решения уравнения f (x ) = sin x – x ² = 0 с точностью e = 0.001.

Преобразуем уравнение к виду (2.4):

x = , т. е. j (x )= .

Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке [p /6, p / 3]. Например, вычислив значения f (x ) на концах отрезка, получим: f (p /6 )> 0, а f (p /3)< 0, т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки, что в соответствии с теоремой 2.1 указывает на то, что внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис.2.7.

Рис. 2.7

Подсчитаем, первую и вторую производные функции j (x ):

j '(x ) = , j "(x ) = .

Так как j "(x ) > 0 на отрезке [p /6, p / 3], то производная j '(x ) монотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение на правом конце отрезка, т. е. в точке p / 3. Поэтому, справедлива оценка:

|j '(x )| £ |j '(p / 3)| » 0.312.

Таким образом, условие (2.7) выполнено, q < 0.5, и можно воспользоваться критерием окончания вычислений в виде (2.10). В табл. 2.2 приведены приближения, полученные по расчетной формуле (2.5). В качестве начального приближения выбрано значение x ₀ = 1.

Таблица 2.2

n	xn
0 1 2 3 4 5	1 0.8415 0.8861 0.8742 0.8774 0.8765

Критерий окончания выполняется при n = 5, |x₅ – x ₄ | < 0.001. Сходимость двусторонняя, качественный характер такой сходимости представлен на рис. 2.4. Приближенное значение корня с требуемой точностью x^* 0.8765.

2.5 Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений.

Пусть корень x ^* Î [a , b ], так, что f (a )f (b ) < 0. Предполагаем, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a , b ). Положим x ₀ = b. Проведем касательную к графику функции y = f (x ) в точке B ₀ = (x ₀ , f (x ₀ )) (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Уравнение касательной будет иметь вид:

y – f (x ₀ ) = f '(x ₀ )(x – x ₀ ). (2.11)

Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью OX , т. е. положив в (2.11) y = 0, x = x ₁ :

x ₁ = x ₀ – . (2.12)

Аналогично поступим с точкой B ₁ (x ₁ , f (x ₁ )), затем с точкой B ₂ (x ₂ , f (x ₂ )), и т. д. в результате получим последовательность приближений x ₁ , x ₂ , …, x _n , …,причем

x _{n +1} = x _n – . (2.13)

Формула (2.13) является расчетной формулой метода Ньютона .

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого

j (x ) = x - . (2.14)