Учебное пособие: Вычислительная математика

Сходимость метода . Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть x ^* – простой корень уравнения f (x ) = 0, и в некоторой окрестности этого корня функция f дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая s -окрестность корня x ^* , что при произвольном выборе начального приближения x ₀ из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (2.13) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:

|x_{n + 1} – x^* | £ C |x_n – x^* |² , n 0, (2.15)

где С = s ^{- 1} . Оценка (2.15) означает, что метод сходится с квадратичной скоростью.

Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение. Неудачный выбор начального приближения может дать расходящуюся последовательность. Полезно иметь в виду следующее достаточное условие сходимости метода. Пусть [a, b ] – отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения x ₀ выбрать тот из концов отрезка, для которого

f (x )f" (x ) ³ 0, (2.16)

то итерации (2.13) сходятся, причем монотонно. Рис. 2.8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка: x ₀ = b.

Погрешность метода. Оценка (2.15) является априорной и неудобна для практического использования. На практике удобно пользоваться следующей апостериорной оценкой погрешности:

|x_n – x^* | £ |x_n – x_{n – 1} |. (2.17)

Критерий окончания. Оценка (2.17) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности e > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

|x_n – x_{n – 1} | < e . (2.18)

Пример 2.3.

Применим метод Ньютона для вычисления . где a > 0, p – натуральное число. Вычисление эквивалентно решению уравнения x^p = a. Таким образом, нужно найти корень уравнения f (x ) = 0, f (x ) = x^p – a, f ' (x ) = px^{p – 1} . Итерационная формула метода (2.13) примет вид:

x _{n +1} = x _n – = x _n + . (2.19)

Используя формулу (2.19), найдем с точностью e = 10^-3 .

x _{n +1} = x _n + .

Простой корень уравнения x ³ – 7 = 0 расположен на отрезке [1, 2]. Действительно, на концах отрезка [1, 2] функция f (x ) = x ³ – 7 принимает разные знаки, f (1) < 0, f (2) > 0. Кроме того, при x = 2 выполнено достаточное условие сходимости (2.16): f (2)f" (2) ³ 0.

Поэтому в качестве начального приближения можно взять x ₀ = 2.

Результаты приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

n	xn
0 1 2 3 4 5	2 0.8415 0.8861 0.8742 0.8774 0.8765

2.6 Метод секущих (метод хорд)

В этом и следующем разделе рассмотрим модификации метода Ньютона.

Как видно из формулы (2.13), метод Ньютона требует для своей реализации вычисления производной, что ограничивает его применение. Метод секущих лишен этого недостатка. Если производную заменить ее приближением:

f '(x_n ) » ,

то вместо формулы (2.13) получим

x _{n +1} = x _n –. . (2.20)

Это означает, что касательные заменены секущими. Метод секущих является двухшаговым методом, для вычисления приближения x _{n +1} необходимо вычислить два предыдущих приближения x _n и x _{n – 1} , и, в частности, на первой итерации надо знать два начальных значения x ₀ и x ₁ .

Формула (2.20) является расчетной формулой метода секущих . На рис. 2.9 приведена геометрическая иллюстрация метода секущих.