Учебное пособие: Вычислительная математика
Рис. 2.9
Очередное приближение x n +1 получается как точка пересечения с осью OX секущей, соединяющей точки графика функции f (x ) с координатами (x n -1, f (x n - 1 )) и (x n , f (x n )).
Сходимость метода . Сходимость метода секущих устанавливает следующая теорема.
Теорема 2.4 Пусть x * – простой корень уравнения f (x ) = 0, и в некоторой окрестности этого корня функция f дважды непрерывно дифференцируема, причем f" (x ) ¹ 0. Тогда найдется такая малая s -окрестность корня x * , что при произвольном выборе начальных приближений x 0 и x 1 из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (2.20) сходится и справедлива оценка:
|xn + 1 – x* | £ C |xn – x* | p , n ³ 0, p = 
» 1.618. (2.21)
Сравнение оценок (2.15) и (2.21) показывает, что p < 2, и метод секущих сходится медленнее, чем метод Ньютона. Но в методе Ньютона на каждой итерации надо вычислять и функцию, и производную, а в методе секущих – только функцию. Поэтому при одинаковом объеме вычислений в методе секущих можно сделать примерно вдвое больше итераций и получить более высокую точность.
Так же, как и метод Ньютона, при неудачном выборе начальных приближений (вдали от корня) метод секущих может расходиться. Кроме того применение метода секущих осложняется из-за того, что в знаменатель расчетной формулы метода (2.20) входит разность значений функции. Вблизи корня эта разность мала, и метод теряет устойчивость.
Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода секущих такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности e > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство
|xn – xn – 1 | < e . (2.22)
Пример 2.4.
Применим метод секущих для вычисления положительного корня уравнения 4(1 – x 2 ) – ex = 0 с точностью e = 10-3 .
Корень этого уравнения находится на отрезке [0, 1], так как f (0) = 3 > 0, а f (1) = –e < 0. Подсчитаем вторую производную функции: f "(x ) = – 8 – ex . Условие f (x )f " (x ) ³ 0 выполняется для точки b = 1. В качестве начального приближения возьмем x 0 = b = 1. В качестве второго начального значения возьмем x 1 = 0.5. Проведем вычисления по расчетной формуле (2.20). Результаты приведены в табл. 2.4.
Таблиц