1. В аттракционе "Мертвая петля" небольшие кабины соединены друг с другом в сцепку длины L. Сцепка съезжает с горки, далее движется по горизонтальной поверхности и затем попадает в вертикальную петлю радиуса R. Какую наименьшую...

1. Пусть вся сцепка уже полностью заняла мёртвую петлю, поскольку потенциальная энергия не меняется, то все кабинки движутся с одной и той же скоростью по одному и тому же радиусу, а значит, имеют одинаковое центростремительное ускорение. Кабинки, находящиеся ниже центра петли вообще никак не могут упасть, поскольку опираются на рельсы, а вот кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли упасть в принципе могут. Найдём условие безотрывного движения отдельных кабинок. Рассмотрим только кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли, отстоящие от него на угол    [latex] \varphi . [/latex]    Поперечная к петле сила, действующая на кабинку, складывается из силы нормальной реакции и тяжести: [latex] ma_n = N + mg \sin{ \varphi } \ ; [/latex] [latex] a_n - g \sin{ \varphi } = \frac{N}{m} \geq 0 \ ; [/latex] [latex] a_n \geq g \sin{ \varphi } \ ; [/latex] [latex] \varphi \leq arcsin{ {a_n}{g} } \ ; [/latex] Т.е. при углах, меньше некоторого предельного уровня – отрыва не происходит. А значит, если отрыв не происходит при угле    [latex] \varphi \approx 90^o , [/latex]    т.е. в самой верхней точке, то отрыв не произойдёт ни в одной точке. А если сцепка ещё не полностью заехала на петлю (или уже частично съехала), то тогда её потенциальная энергия не максимальна, а значит, кинетическая энергия больше минимальной, а скорость в любой точке больше, чем скорость полностью заехавшей сцепки. Так что если мы найдём условие безотрывного движения полностью заехавшей сцепки, то тогда и частично находящаяся на петле сцепка тоже гарантированно будет двигаться без отрыва: Если сцепка заехала на петлю полностью, то масса, находящаяся на петле выразится, как: [latex] m = \frac{ 2 \pi R }{L} M \ , [/latex]    где    [latex] M [/latex]    – масса всей сцепки. Из симметрии ясно, что средняя высота подъёма полностью занявшей петлю сцепки, равна    [latex] R \ , [/latex]    а значит, потенциальная энергия возрастёт по сравнению с горизонтальным участком на: [latex] U_o = mgR = 2 \pi M g \frac{ R^2 }{L} \ ; [/latex] В то же время, когда сцепка находилась на горке, её потенциальная энергия была равна: [latex] U_h = M g h \ ; [/latex] Кинетическая энергия сцепки, полностью занявшей петлю, будет: [latex] W_o = U_h - U_o = Mgh - 2 \pi M g \frac{ R^2 }{L} = \frac{Mv^2}{2} \ ; [/latex] [latex] gh - 2 \pi g \frac{ R^2 }{L} = \frac{v^2}{2} \ ; [/latex] С другой стороны центростремительное ускорение в верхней точке: [latex] ma_n = mg + N \ ; [/latex] [latex] a_n - g = \frac{N}{m} \geq 0 \ ; [/latex] [latex] a_n \geq g \ ; [/latex] [latex] \frac{v^2}{R} \geq g \ ; [/latex] [latex] \frac{v^2}{2} \geq \frac{Rg}{2} \ ; [/latex] А значит: [latex] gh - 2 \pi g \frac{ R^2 }{L} = \frac{v^2}{2} \geq \frac{Rg}{2} \ ; [/latex] [latex] h \geq \frac{R}{2} + 2 \pi \frac{ R^2 }{L} \ ; [/latex] ОТВЕТ:    [latex] h_{min} = R ( \frac{1}{2} + 2 \pi \frac{R}{L} ) \ ; [/latex] 2. Обозначим минимальный объём как:    [latex] V \ , [/latex] а максимальное давление, как:    [latex] p \ , [/latex] а их изменения, как:    [latex] \Delta V [/latex]    и    [latex] \Delta p \ , [/latex] Нагревание потребуется только на изохоре при минимальном объёме, и на изобаре при максимальном давлении. Итого, на нагревание уйдёт: [latex] Q = C_V \cdot \nu \Delta T_V + C_P \cdot \nu \Delta T_p = \frac{3}{2} V \Delta p + \frac{5}{2} p \Delta V \ ; [/latex] Работа, вырабатываемая в цикле: [latex] A = \Delta p \Delta V \ ; [/latex] КПД цикла: [latex] \eta = \frac{A}{Q} = \frac{ \Delta p \Delta V }{ \frac{3}{2} V \Delta p + \frac{5}{2} p \Delta V } = 1/( \frac{3V}{ 2 \Delta V } + \frac{5p}{ 2 \Delta p } ) \ ; [/latex] Для максимизации КПД, представляющего в данном случае дробь с числителем 1, нужно минимизировать знаменатель, т.е. каждое из его слагаемых. Первое слагаемое может стремиться к нулю, когда минимальное давление стремится к нулю. Второе слагаемое тем меньше, чем ближе разность давлений к максимальному давлению. А стало быть: [latex] \eta_{max} = \frac{ 1 }{ 5/2 } = 40 \% \ . [/latex]