45 баллов. Основания AD и BC трапеции ABCD и боковая сторона AB равны соответственно 21, 7 и 12. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если сумма углов при основании трапеции равна 90 г...

В трапеции ABCD основания АD и ВС равны соответственно 36 см и 12 см,  а сумма углов при основании АD равна 90º  Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СD, если АВ=10 см По условию сумма углов при основании АD равна 90º.  Продолжив боковые стороны трапеции до пересечения в точке К, получим  треугольник АКD, в котором угол АКD=180º-90º=90º.   Треугольник АКD -  прямоугольный Сделаем и рассмотрим рисунок.  ВС||АD, АК и КD при них - секущие, отсюда  ∠ КСВ и ∠КDА равны по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей, следовательно,   треугольники ВКС и АКD - подобны.  Коэффициент подобия АD:ВС=36:12=3  Тогда АК:ВК=3 АК=АВ+ВК (АВ+ВК):ВК=3 10+ВК=3ВК  2ВК=10 см ВК=5 см Обозначим точку касания окружности и прямой СD буквой М Соединим центр окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М. Так как углы ОМК и АКМ прямые, ОМ и АК - параллелльны.  Рассмотрим треугольник АОВ. Он равнобедренный, т.к. АО и ОВ - радиусы.  Проведем в нем высоту ОН. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и его медианой. Следовательно,  НВ= AH =5. Рассмотрим четырехугольник НКМО. Это прямоугольник с равными сторонами НК=МО.  МО - радиус окружности.  НК=НВ+ВК=5+5=10 см МО=НК=10 см Радиус окружности равен 10 см.