Биссектрисы углов А и в трапеции АВСД пересекаются в точке К, лежащей на стороне СД. Докажите, что точка К равноудалена от прямых АВ, ВС и АД.

Трапеция АВСД, нижнее основание АД, верхнее основание ВС, углы при нижнем основании А и Д - острые, а при верхнем В и С - тупые. АМ - биссектриса <А, значит <ВАМ=<ДАМ ДМ - биссектриса <Д, значит <СДМ=<АДМ Удаленность точки от прямой измеряется длиной перпендикуляра на прямую. ΔАВМ и ΔСДМ - тупоугольные, значит их высоты, проведенные из острой вершины, попадают не на сторону этого треугольника, а на ее продолжение. Т.е. высота ΔАВМ, опущенная из вершины М, лежит на продолжении стороны АВ - обозначим высоту МК. Аналогично высота ΔСДМ, опущенная из вершины М, лежит на продолжении стороны СД - обозначим высоту МР. Также опустим из точки М высоту ΔАМД - обозначим высоту МН. Нужно доказать МК=МР=МН. ΔАВМ=ΔАНМ - прямоугольные треугольники, равные по гипотенузе и острому углу (АМ-общая, <КАМ=<НАМ), значит МК=МН ΔАКМ=ΔАНМ - прямоугольные треугольники, равные по гипотенузе и острому углу (АМ-общая, <КАМ=<НАМ), значит МК=МН ΔДРМ=ΔДНМ - прямоугольные треугольники, равные по гипотенузе и острому углу (ДМ-общая, <РДМ=<НДМ), значит МР=МН. Следовательно, МК=МР=МН.