Через сторону правильного ника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 30 градусов. Найти синусы углов, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.

Угол ВМО - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью треугольника с данной плоскостью α. ВМ и МN перпендикулярны АС, значит плоскость ANC (плоскость α) перпендикулярна плоскости BMN. Углы между наклонными (две другие стороны треугольника) и плоскостью - это углы между этими наклонными и их проекциями на эту плоскость. Перпендикуляр ВО к плоскости α лежит в плоскости BMN (О на прямой MN).  Надо найти синусы углов ВСО и ВАО. Прямоугольные треугольники ВАО и ВСО равны по гипотенузе и катету. Углы ВСО и ВАО равны. Из прямоугольного треугольника ВМО : [latex]sinM= \frac{BO}{BM}= \frac{1}{2} , BM= \frac{a \sqrt{3} }{2}, [/latex],  [latex]BO= \frac{a \sqrt{3} }{4} [/latex] sinВСО = sin ВАО =[latex] \frac{a \sqrt{3} }{4} :a= \frac{ \sqrt{3} }{4} [/latex] Ответ [latex] \frac{ \sqrt{3} }{4} [/latex]