Cвармулируйте и докажите первый признак равенства треугольников.

Если 2 стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны 2-м сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.   Докозательство: Рассмотрим треугольники АВС и KLM, у которых AB=KL, AC=KM, и угол A= углу К. Т.к угол A= углу К, то треугольник АВС можно наложить на треугольник KLM так, что вершина А совместиться с вершиной Л, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на стороны KL и KМ. Поскольку AB=KL, AC=KM, то соответственно равные стороны наложатся друг на друга, следовательно, совместятся стороны BC и LM. Т.к.  треугольники полностью совместятся, следовательно, они равны.   Из учебника геометрии 7-9 класс.

Теорема    Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.  Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, AB = A1B1, AC = A1C1.   Пусть есть треугольник A1B2C2 – треугольник равный треугольнику ABC, с вершиной B2, лежащей на луче A1B1, и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1.    Так как A1B1=A1B2, то вершины B1 и B2 совпадают.    Так как ∠ B1A1C1 = ∠ B2A1C2, то луч A1C1 совпадает с лучом A1C2.    Так как A1C1 = A1C2, то точка С1 совпадает с точкой С2. Следовательно, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.