Дан выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами АВ = 9, BC = CD = 11, AD = 15 и диагональю АС =16. а) Докажите, что около него можно описать окружность. б) Найдите диагональ BD.

Четырехугольник можно вписать в окружность только тогда, когда сумма его  противолежащих углов равна 180 градусам. Если одна пара углов будет 180 градусов, то вторая 360 - 180 = 180 Обозначим угол ADC за α, а угол ABC за β [latex]16 ^{2} =15^{2} + 11^{2}-330cos\alpha[/latex] [latex]16 ^{2} =9 ^{2} + 11^{2}-198cos\beta[/latex] [latex]cos \alpha = \frac{9}{33} [/latex] [latex]cos \beta =- \frac{9}{33} [/latex] α, β < 180 [latex]cos \alpha +cos \beta =2cos( \frac{ \alpha + \beta }{2} )cos( \frac{ \alpha - \beta }{2} )=0[/latex][latex]cos( \frac{ \alpha + \beta }{2} )=0[/latex] α+β=180 Следовательно, четырехугольник может быть вписан в окружность. Обозначим угол BAD за γ 225+81-270cosγ=121+121+242cosγ cosγ=0.125 BD^2=225+81-270cosγ=306-270*0.125=272.25 BD=16.5 Ответ: 16.5