Даны точки A, B, C и D. Докажите, что AB^2 +BC^2 +CD^2 + DA^2 ≥ AC^2 +BD^2 , причем равенство достигается, только если ABCD — параллелограмм.

Начертим четырехугольник ABCD и проведём диагонали AC и BD. По теореме косинусов: BD² = AB² + AD² - 2AB*AD*cosA BD² = BC² + CD² - 2BC*CD*cosC AC² = AB² + BC² - 2AB*BC*cosB AC² = AD² + DC² - 2AD*DC*cosD Теперь сложим все эти четыре равенства: AC² + AC² + BD² + BD² = AB² + AD² - 2AB*AD*cosA + BC² + CD² - 2BC*CD*cosC + AB² + BC² - 2AB*BC*cosB + AD² + DC² - 2AD*DC*cosD 2AC² + 2BD² = 2AB² + 2BC² + 2DC² + 2AD² - 2AD*DC*cosD - 2BC*CD*cosC - 2AB*AD*cosA -  2AB*BC*cosB AC² + BD² = AB² + BC² + DC² + AD² - AD*DC*cosD - BC*CD*cosC - AB*AD*cosA -  AB*BC*cosB AC² + BD² + AD*DC*cosD + BC*CD*cosC + AB*AD*cosA + AB*BC*cosB = AB² + BC² + DC² + AD²  AD*DC*cosD + BC*CD*cosC + AB*AD*cosA + AB*BC*cosB > 0 (косинус тупого угла < 0, косинус острого угла > 0, против большей стороны лежит больший угол, поэтому произведение с отрицательным косинусом тупого угла со сторонами будет меньше, чем произведение косинуса острого угла с другими двумя сторонами) Значит, AC² + BD² < AB² + BC² + DC² + AD². В параллелограмме AB = CD, BC = AD, cosA = cos C = -cosB = -cosD (противоположные стороны параллелограмма равны, противоположные углы равны; т.к. ∠A и ∠B, ∠C и ∠B - односторонние, то косинусы их будут противоположны)  AC² + BD² + AD*DC*cosD + BC*CD*cosC + AB*AD*cosA + AB*BC*cosB = AB² + BC² + DC² + AD² AC² + BD² - AD*AB*cosA + AD*AB*cosA + AB*AD*cosA - AD*AB*cosA = AB² + BC² + DC² + AD² AC² + BD² =  AB² + BC² + DC² + AD² (данное равенство называется тождеством параллелограмма).