Действует ли сила тяготения между космонавтом и Землёй, когда космонавт, как говорят, находится в состоянии невесомости?

Сила тяготения действует постоянно. Просто в случае с космонавтом она уравновешивается центробежной силой. Это бывает, если скорость космонавта (и его корабля) равна первой космической. Если скорость будет меньше, сила тяготения начнёт преобладать и корабль с космонавтом упадёт на Землю. Если скорость будет больше - улетит от Земли к Солнцу или ещё куда-нибудь.

Конечно да, сила тяготения существует между всеми телами во вселенной ( В данном случае она будет проявляться между космонавтом и Землей)