Диагонали AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответсвенно 25 см2 и 16 см2. Найдите площадь трапеции

Очень подробно.  Треугольники AOD и BOC подобны по свойству трапеции.  Площади подобных треугольников относятся, как квадраты коэффициента их подобия 25:16=k²  k=√(25:16)=5:4 Следовательно, основания трапеции относятся, как 5:4 Обозначим  высоту ᐃ ВОС=h₁ высоту ᐃ АОD=h₂ S АОD=h₂·АD:2 S ВОС=h₁·ВС:2 Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований: Высота трапеции Н S ABCD=Н·(АD+ВС):2 Н=h₂+h₁ S ABCD =(h₁+h₂)·(АD+ВС):2= =h₁·АD+h₂·АD+h1·ВС+h₂·ВС ------------------- 1)  Применим свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению крайних. h₂:h₁=5:4 4h₂=5h₁ h₂=5h₁/4  S AOD=h₂·АD:2=5h₁/4·АD:2 25=5h₁/4·АD:2 Умножим на два обе части уравнения 12,5=5h₁/4·АD  5h₁/4 =12,5:AD h₁:4=2,5:AD h₁·AD= 4·2,5 =10 см² Т.к. площади боковых треугольников у трапеции равны  равны, то h₂·ВС=10 см²    ----------------Проверим это: 2) h₂:h₁=5:4 5h₁=4h₂ h₁=4h₂/5  S ВОС=h₁·ВС:2=4h₂/5·ВС:2  16=4h₂/5·ВС:2 Умножим на два обе части уравнения 8=4h₂/5·ВС 4h₂:5=8:ВС 4h₂·ВС=8·5=40 h₂·ВС=40:4=10 см² -------------------- 3) Подставим значения  h₂·ВС и h₁·AD в уравнение площади трапеции S ABCD=h₁·АD+25+16+h₂ВС=41+=h₁·АD+h₂·ВС = S ABCD=10+25+16+10= 61 см

Площади треугольников АВО и СОD равны(это доказывается из свойства трапеции)=S0 S1=16   S2=25 Из метода площадей четырехугольника  S1/S0=S0/S2 sqrt(S1S2)=S0=20 Sabcd=20+20+25+16=82