Дима написал на доске семь последовательных чисел потом Некоторые из них он умножил на 2 остальные на 3 Какое наименьшее количество различных результатов они могут получить

Пусть наши последовательные числа: [latex]a,\,a+1,\,a+2,\,...\,,\,a+6[/latex] Интерпретируя условие, нам надо получить наибольшее число значений k и m таких, что [latex]2(a+k)=3(a+m),\,k,m\in\mathbb{Z}\cap[0;6][/latex] Заметим, что если мы уже выбрали для некоторых k и m множители 2 и 3, то какой бы из множителей 2 и 3 для оставшихся 5 чисел мы не выбрали, ни одно из полученных 5 произведений не равно какому-либо из первых 2. Действительно. Предположим, что существует такое целое l, что верно одно из следующих равенств: [latex]2(a+k)=2(a+l)\\2(a+k)=3(a+l)\\3(a+m)=2(a+l)\\3(a+m)=3(a+l)[/latex] Мы сразу же получим, что для первого случая k=l, для второго l=m, для третьего l=k и для четвертого l=m. То есть совпасть могут не более 2 результатов (одновременно, несколько пар возможно). Найдем наибольшее количество таких пар. Заметим, что  [latex]3(a+m)[/latex] кратно 3, а [latex]2(a+k)[/latex] кратно 2. Они равны, значит [latex]a+m[/latex] кратно 2, а [latex]a+k[/latex] кратно 3. Смотрим, какого максимальное количество среди наших 7, чисел кратных 3. Получим 3 (а именно a, a+3, a+6, если a не делится на 3, то их будет ровно 2) Предположим, что их три. Тогда [latex]2a=3a+3k_1[/latex] Тогда: [latex]{2a}=3(a+k_1)\\{2(a+3)}=3(a+k_1+2)\\{2(a+6)}=3(a+k_1+4)[/latex] Это наши 3 равенства, составленные для наших 3 пар равных чисел. Но одно из чисел a+k, a+k+2, a+k+4 делится на 3, значит это число уже стоит в одном из числителей в левой части. Но, как замечалось ранее, в двух сразу оно стоять не может. То есть либо это число идет с множителем 2 и стоит в левой части одного из равенств, либо с множителем 3 в правой части одного из равенств. Значит пар одинаковых результатов не более 2. А на это можно привести пример: Возьмем числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Умножим первое на 3, второе на 2, третье на 3 и пятое на 2, а остальные - как угодно. На количество равных это не повлияет. Получим: [latex]6, 6, 12,q_1,12,q_2,q_3[/latex] Таким образом минимальное количество различных 5. Ответ: 5