Добрый вечер, подскажите, пожалуйста. Привести пример какого-либо ортонормированного базиса евклидова (унитарного) пространства R^mxn (C^mxn) со стандартным скалярным произведением.

Скалярное произведение зададим по формуле [latex](A;B)=Tr(A\cdot B^t)=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{ij}[/latex] Здесь [latex]Tr[/latex] - след матрицы, то есть сумма диагональных элементов, [latex]t[/latex] - знак транспонирования. Соответственно квадрат длины вектора (то есть матрицы A) равен [latex]|A|^2=Tr(A\cdot A^t)=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}^2= a_{11}^2+a_{12}^2+\ldots +a_{mn}^2[/latex] Ортонормированным базисом будет, например, базис, состоящий из матриц, у которых на одном месте стоит 1, а на остальных местах стоят нули. Только нужно помнить, что базис - это УПОРЯДОЧЕННЫЙ набор векторов (естественно, линейно независимых, через которые можно линейно выразить любой вектор этого пространства), поэтому Вы должны указать, в каком порядке эти матрицы будете располагать. Скажем, сначала матрица [latex]E_{11}[/latex], у которой в пересечении первой строчки и первого столбца  стоит единица, а остальные нули, потом матрицы [latex]E_{12},\ E_{13}, \ \ldots , E_{1n},[/latex] далее переходим на вторую строчку и так далее до последней матрицы [latex]E_{mn}[/latex]. В случае [latex]C^{mxn}[/latex] скалярное произведение задается по той же формуле, только у второй матрицы элементы нужно заменить на комплексно сопряженные:  [latex](A;B)=Tr(A\bar B^t)=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^na_{ij}\bar b_{ij}[/latex]. А ортонормированный базис будут образовывать те же матрицы