Доказать, что при любом x ∈ R, x^16-x^12+x^8-x+1 больше 0

[latex]x^{16}-x^{12}+x^8-x+1>0[/latex] Если [latex]x \leq -1[/latex], то имеем [latex]x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 \geq x^8-x+1[/latex] Отсюда  [latex]x^8-x+1>0[/latex] Если [latex]-1 \leq x \leq 0[/latex], то имеем [latex]x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 \geq x^{16}+x^8+1 \\ x^{16}+x^8+1>0[/latex] Если [latex]0 \leq x \leq 1[/latex], то имеем [latex]x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 \geq x^{16}-x+1 \\ x^{16}-x+1 \geq x^{16} \\ x^{16}>0[/latex] Если [latex]x>1,[/latex] то  [latex]x^{16}-x^{12}+x^8-x+1>x^8-x+1 \\ x^8-x+1>1 \\ 1>0[/latex] Отсюда, во всех возможных , левая часть уравнение принимает только положиьельные значения, отсюда х - любое число Что и требовалось доказать

Рассмотрим три случая: 1) x<0 При любом x<0 верно x^16+x^8>x^12 (т.к. все слагаемые положительны из-за чётной степени), а значит, x^16-x^12+x^8>0. Осталось доказать, что -x+1>0. Перенесем -x в правую часть и получим x<1, что удовлетворяет нашему условию x<0, а значит,  -x+1>0. Т.к.  x^16-x^12+x^8>0 и  -x+1>0, всё выражение больше 0. 2) x=0 Подставим x=0 в x^16-x^12+x^8-x+1>0 и получим верное неравенство 1>0, т.е. и в этом случае  всё выражение больше 0. 3) x>0 При любом x>0 верно x^16>x^12, а значит x^16-x^12>0. Осталось доказать, что x^8-x+1>0. При любом x>0 x^8>x, а значит, x^8-x>0. 1>0. Т.к.  x^16-x^12>0  и  x^8-x>0 и 1>0, всё выражение больше 0. Т.е. при x∈R выражение больше 0