Доказать справедливость неравенств |a+b| меньше либо равно |a|+|b|

Можно скажем возвести в квадрат, тогда получим Применяя это свойство модуля [latex]|x|^2 = x^2[/latex] [latex](a+b)^2 \leq (|a| + |b|)^2[/latex] [latex]a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 + 2|a||b| + b^2[/latex] После приведения подобных останется ab ≤ |a||b| Произведение |a||b| всегда положительно при любых a и b А произведение ab может быть как положительным (к примеру a>0, b>0 или a<0, b<0), так и отрицательным (a>0, b<0 или a<0, b>0) В итоге, что и требовалось доказать |a+b|≤ |a|+|b|.

доказать можно, применим свойство модуля: |[latex]a^{2}[/latex]|=[latex]a^{2}[/latex], то есть возведем обе части неравенства [latex]|a+b|\leq |a|+|b|[/latex] в квадрат: [latex](a + b)^{2}\leq a^{2} +2|ab|+b^{2} [/latex], сокращаем:  [latex]2ab\leq |2ab|[/latex]   так как модуль - положительное число (из определения), то [latex]|2ab|\geq 0[/latex], в то время как 2ab может принимать различные значения: как польжительные, так и отрицательные, следовательно [latex]|a+b|\leq |a|+|b|[/latex]