Докажите что из равенства (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=(a+b-2c^2)+(b+c-2a)^2+(c+a-2b)^2 следует, что a=b=c

(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=(a+b-2c)²+(b+c-2a)²+(c+a-2b)² (a+b-2c)²-(a-b)²+(b+c-2a)²-(b-c)²+(c+a-2b)²-(c-a)²=0 (a+b-2c-a+b)(a+b-2c+a-b)+(b+c-2a-b+c)(b+c-2a+b-c)+(c+a-2b-c+a)(c+a-2b+c-a)=0 (2b-2c)(2a-2c)+(2c-2a)(2b-2a)+(2a-2b)(2c-2b)=0 (b-c)(a-c)+(c-a)(b-a)+(a-b)(c-b)=0 если принять , что в=с,то тождество примет вид (b-a)²=0, т.е. b=a или (с-a)²=0, т.е. с=a Получается что а=b=c

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=(a+b-2c)^2+(b+c-2a)^2+(c+a-2b)^2 Заменим: a-b=x b-c=y c-a=z x^2+y^2+z^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 x^2+y^2+z^2=(x+2y)^2+(y+2z)^2+(z+2x)^2 x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+4(y^2+x^2+z^2)+4(xy+yz+zx) y^2+x^2+z^2=-(xy+yz+zx) y^2+x^2+z^2+2(xy+yz+zx)=xy+yz+zx (x+y+z)^2=xy+yz+zx можно   заметить  что  x+y+z=0 xy+yz+zx=0 2xy+2yz+2zx=0 Вернемся к  исходному  равенству: x^2+y^2+z^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 Складывая  его  с полученным: x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2zx=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 (x+y+z)^2=(a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2 тк  x+y+z=0 (a-b+2(b-c))^2+(b-c+2(c-a))^2+(c-a+2(a-b))^2=0 Сумма квадратов 0  кагда  каждый из них 0 a+b-2c=0 b+c-2a=0 c+a-2b=0 вычетая 1  и 2   уравнение получим: -2c+2a=0 c=a вычетая 2  и 3  получим 2b-2a=0 a=b Откуда a=b=c Чтд