Докажите что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна 3/2 квадрата гипотенузы.

Медиана делит сторону треугольника на 2 равные части.  При построении трёх медиан в прямоугольном треугольнике, получится ещё 2 прямоугольных треугольника, но с другими катетами (медианы будут являться гипотенузами для каждого из этих треугольников)  То есть применяя теорему Пифагора, получаем:  (Медиана1)^2=a^2+(b/2)^2 (первая сторона делится на 2)  (Медиана2)^2=(a/2)^2+b^2 (вторая сторона делится на 2)  Но (Медиана3) вычисляется по свойствам прямоугольного треугольника (то есть не так как (Медиана1) и (Медиана2))  (Медиана3)^2=(c/2)^2=(a^2+b^2)/4 (то есть Медиана3=Половине гипотенузы, и одновременно является радиусом описанной окружности)  Теперь осталось найти сумму трёх выражений:  (a^2+(b/2)^2)+((a/2)^2+b^2)+((a^2+b^2)/4)=(a^2+b^2)*3/2=(3/2)*c^2  То есть при преобразовании снова применена теорема Пифагора.