Два проводящих шарика радиусами R1=1 см и R2=2 см соответственно заряжены до потенциалов Ф1=2 В и Ф2=4 В соединяются металлическим проводом. Чему равен потенциал соединенных проводом шаров?

Потенциал шара радиусом R, заряженного зарядом q, в ваккуме определяется так: [latex] \phi= \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 R } [/latex] ε₀ - диэлектрическая постоянная 8,85*10⁻¹² Ф/м Соответственно до соединения для 1-го шара: [latex] \phi_1= \frac{q_1}{4 \pi \epsilon_0 R_1 } [/latex]  (1) Для 2-го: [latex]\phi_2= \frac{q_2}{4 \pi \epsilon_0 R_2 } [/latex]  (2) После соединения их потенциалы равны и равны φ₃: [latex]\phi_3= \frac{q_{12}}{4 \pi \epsilon_0 R_1 }= \frac{q_{22}}{4 \pi \epsilon_0 R_2 } [/latex]  (3) Где q₁₂ и q₂₂ заряды шаров после соединения проводом. В общем, если бы мы знали q₁₂ и q₂₂ мы бы потенциал вычислили. НО мы их не знаем. Зато мы можем сказать, что суммарный заряд системы шаров не изменился (зарядом на проволочке пренебрегаем). Тогда [latex]q_1+q_2=q_{12}+q_{22}[/latex] (4) q₁, q₂ можно выразить из (1) и (2) соответственно. А вот из (3) Можно выразить например q₂₂ через q₁₂ [latex]q_1=\phi_1 4 \pi \epsilon_0 R_1 [/latex] (5) [latex]q_2=\phi_2 4 \pi \epsilon_0 R_2 [/latex] (6) [latex]q_{12}=q_{22}\cdot \frac{R_2}{R_1} [/latex]  (7) Так. Вот теперь выражения для зарядов из (5), (6), (7) подставляем в (4). [latex]\phi_1 4 \pi \epsilon_0 R_1+\phi_2 4 \pi \epsilon_0 R_2=q_{12}+q_{12} \cdot \frac{R_2}{R_1} [/latex] [latex]4 \pi \epsilon_0(\phi_1 R_1+\phi_2 R_2)=q_{12}(1+ \frac{R_2}{R_1} )[/latex] Вот теперь можно определить q₁₂. [latex]q_{12}=4 \pi \epsilon_0(\phi_1 R_1+\phi_2 R_2)/(1+ \frac{R_2}{R_1} )[/latex] (8) Ну теперь заряд q₁₂ (8) подставим в (3) [latex]\phi_3=4 \pi \epsilon_0(\phi_1 R_1+\phi_2 R_2)/((4 \pi \epsilon_0 R_1)(1+ \frac{R_2}{R_1} ))= [/latex] [latex]=(\phi_1 R_1+\phi_2 R_2)/(R_1+R_2)=[/latex] Подставляем числа,( см выражаем в м) [latex]\phi_3= \frac{(\phi_1 R_1+\phi_2 R_2)}{( R_1+ R_2 )}= \frac{(2 \cdot0,01+4 \cdot0,02)}{( 0,01+ 0,02)}\approx 3,33[/latex] В