Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны, боковая сторона равна [latex] \sqrt{10} [/latex]. Найдите площадь треугольника.

В равнобедренном треугольнике две медианы могут быть взаимно перпендикулярны только к боковым сторонам. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1,считая от вершины. Обозначим эти части х и 2х. Тогда половина боковой стороны - гипотенуза прямоугольного треугольника. (√10/2)² = х² + (2х)². 10/4 = 5х². 20х² = 10. х = 1/√2,  2х = 2/√2. Треугольник с основанием тоже прямоугольный и с острыми углами по 45 градусов. Тогда основание равно 2*(2х*cos45°) = 2*((2/√2)*(√2/2)) = 2. Высота треугольника равна √((√10)²-(2/2)²) = √(10-1) = √9 = 3. Площадь треугольника равна (1/2)2*3 = 3 кв.ед.