Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В. Прямая ВК пересекает первую окружность в точке D, прямая АК пересекает вторую окружность в точке С. а) Докажи...

Окружность с центром О₁ касается прямой в точке А,  радиус окружности О₁А=О₁К. Окружность с центром О₂ касается прямой в точке В,  радиус окружности О₂В=О₂К. Через точку К проведем общую касательную к 2 окружностям, которая пересекает АВ в точке Е. а) Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Значит АЕ=ЕК и ВЕ=ЕК, тогда АЕ=ВЕ. Получается, что ЕК - медиана ΔАВК и ЕК=АВ/2, значит ΔАВК прямоугольный (угол АКВ - прямой)  Следовательно, прямые ВД и АС пересекаются под прямым углом, значит вписанные <АКД=<ВКС=90°. А т.к. вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр, то значит АД и ВС - это диаметры окружностей. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания, тогда АД ⊥АВ, ВС⊥АВ. Значит АД || ВС (две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны), ч.т.д.  б)  По условию радиус окружности О₁А=О₁К=1, а радиус окружности О₂В=О₂К=4. Диаметры АД=2, ВС=8 Прямоугольные ΔАКД и ΔСКВ подобны по острому углу (<ДАК=<ВСК как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АС). Значит АК/КС=ДК/КВ=АД/ВС=2/8=1/4 Из прямоугольного ΔДАВ, в котором АК - высота из прямого угла на гипотенузу ВД: АК²=ДК*КВ=ДК*4ДК=4ДК² АК=2ДК Из прямоугольного ΔДАК: АД²=ДК²+АК²=ДК²+4ДК²=5ДК² ДК=АД/√5=2/√5 АК=4/√5 КС=4АК=16/√5 Площадь Sдак=АК*ДК/2=4/√5 * 2/√5 / 2=4/5 У ΔДАК и ΔДАС одинаковые высоты из вершины, значит их площади Sдак/Sдас=АК/АС=4/√5 / 20/√5=1/5 Sдас=5Sдак=5*4/5=4 Sдкс=Sдас-Sдак=4-4/5=16/5=3,2 Ответ: 3,2