Какое максимальное количество ребер у неориентированного графа с N вершин и K компонент связности. Напомню, что для полного неориентированного графа это N * (N - 1) / 2

Каждая из компонент связности должна быть кликой (иначе говоря, каждые две вершины в одной компоненте связности должны быть связаны ребром). Если в i-ой компоненте связности [latex]n_i[/latex] вершин, то общее число рёбер будет суммой по всем компонентам связности: [latex]\displaystyle \sum_{i=1}^K\frac{n_i(n_i-1)}2=\frac12\sum_{i=1}^K n_i^2-\frac12\sum_{i=1}^Kn_i=\frac12\sum_{i=1}^K n_i^2-\frac N2[/latex] Требуется найти максимум этого выражения (т.е. на самом деле - максимум суммы квадратов) при условии, что сумма всех ni равна N и ni - натуральные числа. Если K = 1, то всё очевидно - ответ N(N - 1)/2. Пусть K > 1. Предположим, n1 <= n2 <= ... <= nK - набор чисел, для которых достигается максимум, и n1 > 1. Уменьшим число вершин в первой компоненте связности до 1, а оставшиеся вершины "перекинем" в K-ую компоненту связности. Вычислим, как изменится сумма квадратов: [latex]\Delta(\sum n_i^2)=(1^2+(n_K+n_1-1)^2)-(n_1^2+n_K^2)=2(n_1-1)(n_K-1)[/latex] Поскольку по предположению n1 > 1 (тогда и nK > 1), то сумма квадратов увеличится, что противоречит предположению о том, что на выбранном изначально наборе достигается максимум. Значит, максимум достигается, если наименьшая по размеру компонента связности - изолированная вершина. Выкинем эту компоненту связности, останутся K - 1 компонента связности и N - 1 вершина. Будем продолжать так делать, пока не останется одна вершина, тогда получится, что во всех компонентах связности кроме последней должно быть по одной вершине. Итак, должно выполняться [latex]n_1=n_2=\cdots=n_{K-1}=1;\qquad n_K=N-K+1[/latex] Подставив в исходную формулу, получаем [latex]\displaystyle\frac{(N-K)(N-K+1)}{2}[/latex] Это и есть ответ.