Куб со стороной а срезан по противоположным углам, так что в сечении получились равные правельные треугольники, в которые вписаны курги, которые является осонованием цилиндра, в который можно вписать шар. Найдите радиус шара

Условие насчет шара просто задает нам равенство расстояния между сечениями и диаметра окружности, вписанной в треугольники в сечениях. Ясно, что диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, но так же ясно, что диаметр шара равен расстоянию между основаниями, раз шар их касается.  Из соображений симметрии понятно и то, что плоскости сечений перпендикулярны большой диагонали куба, соединяющей "отсеченные" вершины (это ОЧЕНЬ просто увидеть, если посмотреть на куб вдоль этой диагонали).  Смысл решения такой.  Находим большую диагональ d = a*корень(3); далее, пусть сторона треугольника x, тогда диаметр вписанной окружности D = x/корень(3),   боковая сторона отсеченных правильных треугольных пирамид равна x/корень(2), её проекция на основание (на плоскость треугольника, это радиус ОПИСАННОЙ вокруг правильного треугольника окружности) равна x/корень(3), отсюда высота пирамиды равна  H^2 = x^2/2 - x^2/3 = x^2/6; H = x/корень(6); Ну, и получаем соотношение d - 2*H = D; то есть a*корень(3) - 2*x/корень(6) = x/корень(3);  а радиус шара равен r = D/2= x/(2*корень(3)) a*корень(3) = 2*r*(корень(2) + 1); r = (1/2)*a*корень(3)/(корень(2) + 1); Вроде так :(((