Logx(sqrt(x^2+2x-3)+2)log5(X^2+2x-2) больше =logx4

1) Область определения логарифма { x > 0; x =/= 1 { x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) > 0 Отсюда { x > 0; x =/= 1 { x < -3 U x > 1 В итоге: x > 1 Это значит, что логарифм по основанию х - возрастающий. Кроме того, если x^2 + 2x - 3 > 0. то x^2 + 2x - 2 тоже > 0 2) Теперь решаем само неравенство [latex]log_x( \sqrt{x^2+2x-3} +2)*log_5(x^2+2x-2) \geq log_x(4)[/latex] По одному из свойств логарифмов [latex]log_a(b)= \frac{log_c(b)}{log_c(a)} [/latex] Причем новое основание с может быть каким угодно, например, 10. [latex] \frac{lg(\sqrt{x^2+2x-3} +2)}{lg(x)} * \frac{lg(x^2+2x-2)}{lg(5)} \geq \frac{lg(4)}{lg(x)} [/latex] Замена [latex]\sqrt{x^2+2x-3}=y; x^2+2x-3=y^2;x^2+2x-2=y^2+1[/latex] [latex] \frac{lg(y+2)}{lg(x)} * \frac{lg(y^2+1)}{lg(5)} \geq \frac{lg(4)*lg(5)}{lg(x)*lg(5)} [/latex] Поскольку x > 1, то lg (x) > 0, поэтому при умножении на знаменатель знак неравенства не меняется. [latex]lg(y+2)* lg(y^2+1) \geq lg(4)*lg(5)[/latex] Единственное решение уравнения: y = 2, тогда y + 2 = 4, y^2 + 1 = 5. Решение неравенства: y >= 2 [latex]y=\sqrt{x^2+2x-3} \geq 2[/latex] [latex]x^2+2x-3 \geq 4[/latex] [latex]x^2+2x-7 \geq 0[/latex] [latex]D=2^2-4(-7)=4+28=32=(4 \sqrt{2} )^2[/latex] [latex]x1= \frac{-2-4 \sqrt{2} }{2} =-1-2 \sqrt{2} [/latex] [latex]x2= \frac{-2+4 \sqrt{2} }{2} =-1+2 \sqrt{2} [/latex] x ∈ (-oo; -1-2√2] U [-1+2√2; +oo) Но по области определения x > 1 Ответ: x ∈ [-1+2√2; +oo)