Найдите нули первообразной функции f:[pi;2pi]- больше R, f(x)=cos(x)-sin(x), если известно, что F(3pi/2)=-2.

Найдем интеграл от f(x) Получаем: [latex]F(x)=\int{f(x)}\, dx \\ F(x)=\int{(cos(x)-sin(x)})\,dx=\int{cos(x)}\,dx - \int {sin(x)}\,dx= \\ =sin(x)+cos(x)+C, \\C=const[/latex] Надо найти C. Известно что [latex]F(\frac{3\pi}{2})=-2[/latex] Подставим в найденное F(x), получим: [latex]sin(\frac{3\pi}{2})+cos(\frac{3\pi}{2})+C=-2 \\ -1+0+C=-2 \\ C=-2+1 \\ C=-1[/latex]  Получили, что [latex]F(x)=sin(x)+cos(x)-1[/latex]  Дальше надо решить уравнение: [latex]sin(x)+cos(x)-1=0 \\ sin(x)=\sqrt{1-cos^2(x)} \\ \sqrt{1-cos^2(x)}=1-cos(x) \\ 1-cos^2(x)=1-2cos(x)+cos^2(x)\\ 2cos^2(x)-2cos(x)=0\\ 2cos(x)(cos(x)-1)=0\\ 1) \ cos(x)=0 \\ x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k \in Z\\ 2)\ cos(x)-1=0\\ cos(x)=1\\ x_2=2\pi n, n \in Z [/latex] Итак получили 2 решения, теперь обратим внимание на условие: [latex]f: [\pi;2\pi] \to R[/latex], что под ним подразумевалось изначально, я не уверен, может быть этим условием хотели сказать что нас интересуют только действительные корни уравнения и мы не рассматриваем пространство комплексных корней, но скорее всего здесь это было сделано для того чтобы ограничить область в которой лежат нули первообразной, областью следующего вида: [latex]x \in [\pi; 2\pi][/latex]. Будем полагать что это так, тогда нули первообразной [latex]x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi k \\ x_2=2\pi n , \\k,n \in Z[/latex] лежат на данном отрезке при n=1, и первый корень вообще не будет лежать на отрезке при любых значениях k таким образом получается, что: [latex]x=2\pi[/latex] единственный ноль первообразной. Подводя итог получаем Нулями производной будут: [latex]x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k \in Z \\ x_2=2\pi n, n \in Z [/latex]  Однако условию  [latex]f: [\pi;2\pi] \to R[/latex] удовлетворяет только  [latex]x=2\pi[/latex] Ответ: [latex]x=2\pi[/latex]